Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

Bước 4

Tâm của một elip có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(1, 1)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của hình elip bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $4$ với $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

Bước 5.3.3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

Bước 5.3.3.4

Trừ $4$ khỏi $12$ .

$\sqrt{8}$

Bước 5.3.4

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$2 \sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một elip bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Bước 6.3

Đỉnh thứ hai của một hình elip có thể được tìm thấy bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Bước 6.5

Rút gọn.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Bước 6.6

Elip có hai đỉnh.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tiêu điểm đầu tiên của một hình elip có thể tìm được bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hình elip bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

Bước 7.5

Rút gọn.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Bước 7.6

Elip có hai tiêu điểm.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.6

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.7

Trừ $4$ khỏi $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.8

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.3

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.4.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.4.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 8.3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3.4.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 8.3.4.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Bước 8.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Bước 8.3.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bước 9

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hình elip.

Tâm: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bước 10