Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = 8 x^{5}$ ở dạng một phương trình.

$y = 8 x^{5}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 8 y^{5}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{5} = x$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $8 y^{5} = x$ cho $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $y^{5}$ cho $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ với $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Bước 3.4.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ với $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Bước 3.4.3.2

Nâng $\sqrt[5]{8}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Bước 3.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Bước 3.4.3.4

Cộng $1$ và $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Bước 3.4.3.5

Viết lại ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ ở dạng $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{8}$ ở dạng $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Bước 3.4.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Bước 3.4.3.5.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Bước 3.4.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Bước 3.4.3.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Bước 3.4.3.5.5

Tính số mũ.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Bước 3.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Viết lại ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ ở dạng $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Bước 3.4.4.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Bước 3.4.4.3

Viết lại $4096$ ở dạng $4^{5} \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Đưa $1024$ ra ngoài $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Bước 3.4.4.3.2

Viết lại $1024$ ở dạng $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Bước 3.4.4.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Bước 3.4.4.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Bước 3.4.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Bước 3.4.5.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Bước 3.4.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Bước 3.4.5.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Bước 3.4.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{5}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (8 x^{5})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Bước 5.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $4$ với $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $32 x^{5}$ ở dạng ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Bước 5.2.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Bước 5.2.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Bước 5.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Bước 5.3.4

Viết lại ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ ở dạng $4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{4 x}$ ở dạng ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Bước 5.3.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Bước 5.3.4.3

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Bước 5.3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Bước 5.3.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Bước 5.3.4.5

Rút gọn.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Bước 5.3.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $8$ ra ngoài $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Bước 5.3.7.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$