Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 5$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(5, 2)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $25$ với $3$ .

$\sqrt{25 + 75}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $25$ và $75$ .

$\sqrt{100}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Bước 5.3.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$10$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(10, 2)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 2)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(10, 2), (0, 2)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(15, 2)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 5, 2)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(15, 2), (- 5, 2)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Bước 8.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Bước 8.3.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Bước 8.3.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Bước 8.3.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Bước 8.3.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Bước 8.3.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}}{5}$

Bước 8.3.1.4.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3}}{5}$

Bước 8.3.1.5

Nhân $25$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{25 + 75}}{5}$

Bước 8.3.1.6

Cộng $25$ và $75$ .

$\frac{\sqrt{100}}{5}$

Bước 8.3.1.7

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{5}$

Bước 8.3.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{10}{5}$

Bước 8.3.2

Chia $10$ cho $5$ .

$2$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{10}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{2})}{10}$

Bước 9.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Bước 9.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Bước 9.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Bước 9.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Bước 9.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Bước 9.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 9.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Bước 9.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3^{1}}{2}$

Bước 9.3.2.5

Tính số mũ.

$\frac{3}{2}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Bước 11.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Bước 11.2.3

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 12.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Bước 12.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Bước 12.2.3

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2, y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(5, 2)$

Các đỉnh: $(10, 2), (0, 2)$

Tiêu điểm: $(15, 2), (- 5, 2)$

Tâm sai: $2$

Tham số tiêu: $\frac{3}{2}$

Các đường tiệm cận: $y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Bước 15