Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(1, - 2)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.2.5

Tính số mũ.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhân $9$ với $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Bước 5.3.3.3

Cộng $27$ và $169$ .

$\sqrt{196}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $196$ ở dạng $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Bước 5.3.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$14$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(15, - 2)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 13, - 2)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.5

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.6

Cộng $27$ và $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.7

Viết lại $196$ ở dạng $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Nhân $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.3.2

Di chuyển $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Bước 8.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Bước 8.3.3.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Bước 8.3.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3.3.7

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.3.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.3.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Bước 8.3.3.7.5

Tính số mũ.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Bước 8.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{13^{2}}{14}$

Bước 9.3

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{169}{14}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Bước 11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Bước 11.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Bước 11.2.3

Kết hợp $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ và $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Bước 11.2.4

Nhân $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Kết hợp $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ và $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Bước 11.2.4.2

Nhân $- 1$ với $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 11.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Bước 12.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Bước 12.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Bước 12.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Bước 12.2.4

Nhân $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 12.2.4.2

Nhân $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ với $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 12.2.5

Di chuyển $13$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(1, - 2)$

Các đỉnh: $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Tiêu điểm: $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Tâm sai: $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Tham số tiêu: $\frac{169}{14}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Bước 15