Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Bước 5.3.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Bước 5.3.5

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Bước 5.3.6

Kết hợp $16$ và $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Bước 5.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Bước 5.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.8.1

Nhân $16$ với $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Bước 5.3.8.2

Cộng $1296$ và $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Bước 5.3.9

Viết lại $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Bước 5.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1

Viết lại $1696$ ở dạng $4^{2} \cdot 106$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1.1

Đưa $16$ ra ngoài $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Bước 5.3.10.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Bước 5.3.10.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Bước 5.3.11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Bước 5.3.11.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h \pm a, k)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.3

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.6

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.7

Kết hợp $16$ và $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Nhân $16$ với $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.9.2

Cộng $1296$ và $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Bước 8.3.10

Viết lại $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1

Viết lại $1696$ ở dạng $4^{2} \cdot 106$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.11.1.1

Đưa $16$ ra ngoài $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.11.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.11.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.12.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Bước 8.3.13.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Bước 8.3.13.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Bước 8.3.13.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Bước 8.3.13.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Bước 8.3.13.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Bước 8.3.13.3

Kết hợp $\sqrt{106}$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Bước 9.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Bước 9.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Bước 9.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Bước 9.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.3

Nhân $\frac{4}{\sqrt{106}}$ với $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Nhân $\frac{4}{\sqrt{106}}$ với $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.2

Nâng $\sqrt{106}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.3

Nâng $\sqrt{106}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6

Viết lại ${\sqrt{106}}^{2}$ ở dạng $106$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{106}$ ở dạng $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.4.6.5

Tính số mũ.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $106$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Bước 9.3.6

Nhân $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.6.1

Nhân $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Bước 9.3.6.2

Nhân $53$ với $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Bước 11

Rút gọn $\frac{5}{9} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $\frac{5}{9} x$ và $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{5}{9}$ và $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Bước 12

Rút gọn $- \frac{5}{9} x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $- \frac{5}{9} x$ và $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Bước 12.2

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Bước 12.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Tham số tiêu: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Bước 15