Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} - 9 x}$

Bước 1

Tìm nơi biểu thức $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ không xác định.

$x = - 3, x = 0, x = 3$

Bước 2

Vì $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $- 3$ từ phía bên trái và $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $- 3$ từ phía bên phải, thì $x = - 3$ là một tiệm cận đứng.

$x = - 3$

Bước 3

Vì $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên trái và $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên phải, thì $x = 0$ là một tiệm cận đứng.

$x = 0$

Bước 4

Vì $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $3$ từ phía bên trái và $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $3$ từ phía bên phải, thì $x = 3$ là một tiệm cận đứng.

$x = 3$

Bước 5

Liệt kê tất cả các tiệm cận đứng:

$x = - 3, 0, 3$

Bước 6

Xét hàm số hữu tỉ $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ trong đó $n$ là bậc của tử số và $m$ là bậc của mẫu số.

1. Nếu $n < m$ , thì trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

2. Nếu $n = m$ , thì tiệm cận ngang là đường $y = \frac{a}{b}$ .

3. Nếu $n > m$ , thì không có tiệm cận ngang (có một tiệm cận xiên).

Bước 7

Tìm $n$ và $m$ .

$n = 2$

$m = 3$

Bước 8

Vì $n < m$ , trục x, $y = 0$ , là tiệm cận ngang.

$y = 0$

Bước 9

Không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu số.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 10

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = - 3, 0, 3$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Không có các tiệm cận xiên

Bước 11