Đại số sơ cấp Ví dụ

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Bước 1

Viết $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Bước 1.2

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.4

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.5

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Bước 1.2.6

Tìm tập xác định của $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.2.6.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 1.2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 1.2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Bước 1.2.8.1.3

Vế trái $2.5$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.2.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.25$

Bước 1.2.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.25$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Bước 1.2.8.2.3

Vế trái $- 2$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.2.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 1.2.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Bước 1.2.8.3.3

Vế trái $1.\overline{6}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.2.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$x > \frac{1}{2}$ Đúng

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$x > \frac{1}{2}$ Đúng

Bước 1.2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < 0$ hoặc $x \geq \frac{1}{2}$

Bước 1.3

Trong phần nơi mà $\frac{2 x - 1}{x}$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Bước 1.4

Tìm tập xác định của $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ và tìm giao điểm với $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tìm tập xác định của $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.4.1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 1.4.2

Tìm phần giao của $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ và $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Bước 1.5

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Bước 1.6

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Bước 1.6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 1.6.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.6.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.6.4

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Bước 1.6.5

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Bước 1.6.6

Tìm tập xác định của $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.6.6.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 1.6.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Bước 1.6.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 1.6.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Bước 1.6.8.1.3

Vế trái $2.5$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.25$

Bước 1.6.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.25$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Bước 1.6.8.2.3

Vế trái $- 2$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 1.6.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Bước 1.6.8.3.3

Vế trái $1.\overline{6}$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Đúng

$x > \frac{1}{2}$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Đúng

$x > \frac{1}{2}$ Sai

Bước 1.6.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Bước 1.7

Trong phần nơi mà $\frac{2 x - 1}{x}$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Bước 1.8

Tìm tập xác định của $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ và tìm giao điểm với $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Tìm tập xác định của $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.8.1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 1.8.2

Tìm phần giao của $0 < x < \frac{1}{2}$ và $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Bước 1.9

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Bước 2

Giải $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ khi $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giải $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Bước 2.1.2

Rút gọn $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Bước 2.1.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Bước 2.1.2.4.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Bước 2.1.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x} < 0$

Bước 2.1.3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

Bước 2.1.4

Tìm tập xác định của $- \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 2.1.4.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 2.1.5

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > 0$

Bước 2.2

Tìm phần giao của $x > 0$ và $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Bước 3

Giải $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ khi $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giải $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Bước 3.1.2

Rút gọn $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Bước 3.1.2.4.4

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Bước 3.1.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Bước 3.1.2.6

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Bước 3.1.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Bước 3.1.2.8

Viết lại $- (4 x - 1)$ ở dạng $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Bước 3.1.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Bước 3.1.3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Bước 3.1.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 1$

Bước 3.1.5

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 3.1.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 3.1.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Bước 3.1.6

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Bước 3.1.7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Bước 3.1.8

Tìm tập xác định của $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 3.1.8.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 3.1.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Bước 3.1.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 3.1.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Bước 3.1.10.1.3

Vế trái $- 2.5$ nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.1.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < \frac{1}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < \frac{1}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.12$

Bước 3.1.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Bước 3.1.10.2.3

Vế trái $6.\overline{3}$ không nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 3.1.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{1}{4}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{1}{4}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 3.1.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Bước 3.1.10.3.3

Vế trái $- 1.\overline{6}$ nhỏ hơn vế phải $2$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 3.1.10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1}{4}$ Sai

$x > \frac{1}{4}$ Đúng

$x < 0$ Đúng

$0 < x < \frac{1}{4}$ Sai

$x > \frac{1}{4}$ Đúng

Bước 3.1.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < 0$ hoặc $x > \frac{1}{4}$

Bước 3.2

Tìm phần giao của $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ và $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Bước 4

Tìm hợp của các đáp án.

$x > \frac{1}{4}$

Bước 5

Tìm tập xác định của $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x - 1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 5.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > \frac{1}{4}$

Bước 7