Đại số sơ cấp Ví dụ

$y = - 4 x^{2} - 64 x + 1$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- 4 x^{2} - 64 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 4$

$b = - 64$

$c = 1$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 4)}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 32}{- 4}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{- 4 (8)}{- 4}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{8}{1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$d = 8$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $- 64$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 1 - \frac{4096}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$e = 1 - \frac{4096}{- 16}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia $4096$ cho $- 16$ .

$e = 1 - - 256$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 256$ .

$e = 1 + 256$

Bước 1.1.1.4.2.2

Cộng $1$ và $256$ .

$e = 257$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$ .

$- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 4$

$h = - 8$

$k = 257$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm xuống dưới.

Quay mặt lõm xuống

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 8, 257)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $4$ với $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{16}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 8, \frac{4111}{16})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 8$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = \frac{4113}{16}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 8, 257)$

Tiêu điểm: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Trục đối xứng: $x = - 8$

Đường chuẩn: $y = \frac{4113}{16}$

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 8, 257)$

Tiêu điểm: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Trục đối xứng: $x = - 8$

Đường chuẩn: $y = \frac{4113}{16}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 9$ trong biểu thức.

$f (- 9) = - 4 {(- 9)}^{2} - 64 \cdot - 9 + 1$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 9) = - 4 \cdot 81 - 64 \cdot - 9 + 1$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 4$ với $81$ .

$f (- 9) = - 324 - 64 \cdot - 9 + 1$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 64$ với $- 9$ .

$f (- 9) = - 324 + 576 + 1$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Cộng $- 324$ và $576$ .

$f (- 9) = 252 + 1$

Bước 2.2.2.2

Cộng $252$ và $1$ .

$f (- 9) = 253$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $253$ .

$253$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 9$ là $253$ .

$y = 253$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 10$ trong biểu thức.

$f (- 10) = - 4 {(- 10)}^{2} - 64 \cdot - 10 + 1$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 10) = - 4 \cdot 100 - 64 \cdot - 10 + 1$

Bước 2.5.1.2

Nhân $- 4$ với $100$ .

$f (- 10) = - 400 - 64 \cdot - 10 + 1$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 64$ với $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 640 + 1$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $- 400$ và $640$ .

$f (- 10) = 240 + 1$

Bước 2.5.2.2

Cộng $240$ và $1$ .

$f (- 10) = 241$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $241$ .

$241$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 10$ là $241$ .

$y = 241$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 7$ trong biểu thức.

$f (- 7) = - 4 {(- 7)}^{2} - 64 \cdot - 7 + 1$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 7) = - 4 \cdot 49 - 64 \cdot - 7 + 1$

Bước 2.8.1.2

Nhân $- 4$ với $49$ .

$f (- 7) = - 196 - 64 \cdot - 7 + 1$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 64$ với $- 7$ .

$f (- 7) = - 196 + 448 + 1$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Cộng $- 196$ và $448$ .

$f (- 7) = 252 + 1$

Bước 2.8.2.2

Cộng $252$ và $1$ .

$f (- 7) = 253$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $253$ .

$253$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 7$ là $253$ .

$y = 253$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f (- 6) = - 4 {(- 6)}^{2} - 64 \cdot - 6 + 1$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 6) = - 4 \cdot 36 - 64 \cdot - 6 + 1$

Bước 2.11.1.2

Nhân $- 4$ với $36$ .

$f (- 6) = - 144 - 64 \cdot - 6 + 1$

Bước 2.11.1.3

Nhân $- 64$ với $- 6$ .

$f (- 6) = - 144 + 384 + 1$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Cộng $- 144$ và $384$ .

$f (- 6) = 240 + 1$

Bước 2.11.2.2

Cộng $240$ và $1$ .

$f (- 6) = 241$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $241$ .

$241$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = - 6$ là $241$ .

$y = 241$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm xuống

Đỉnh: $(- 8, 257)$

Tiêu điểm: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Trục đối xứng: $x = - 8$

Đường chuẩn: $y = \frac{4113}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Bước 4