Đại số sơ cấp Ví dụ

$f (x) = x^{2} + 4 x - y$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$y + y = x^{2} + 4 x$

Bước 1.1.1.1.2

Cộng $y$ và $y$ .

$2 y = x^{2} + 4 x$

Bước 1.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x^{2} + 4 x$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = x^{2} + 4 x$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Bước 1.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Bước 1.1.1.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Bước 1.1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2}$

Bước 1.1.1.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 (1)}$

Bước 1.1.1.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{1}$

Bước 1.1.1.2.3.1.2.4

Chia $2 x$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

Bước 1.1.2

Hoàn thành bình phương cho $\frac{x^{2}}{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

Bước 1.1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.1.2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = 1 \cdot 2$

Bước 1.1.2.3.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$d = 2$

Bước 1.1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Bước 1.1.2.4.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Bước 1.1.2.4.2.1.3

Chia $4$ cho $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{2}$

Bước 1.1.2.4.2.1.4

Chia $4$ cho $2$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2$

Bước 1.1.2.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e = 0 - 2$

Bước 1.1.2.4.2.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$e = - 2$

Bước 1.1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$

Bước 1.1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 2$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Bước 1.5.3.2

Chia $4$ cho $2$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- 2, - \frac{3}{2})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - 2$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{5}{2}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 2, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Trục đối xứng: $x = - 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{5}{2}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 2, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Trục đối xứng: $x = - 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{5}{2}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{2} + 2 (- 4)$

Bước 2.2.1.2

Chia $16$ cho $2$ .

$f (- 4) = 8 + 2 (- 4)$

Bước 2.2.1.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$f (- 4) = 8 - 8$

Bước 2.2.2

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f (- 4) = 0$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3)$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + 2 (- 3)$

Bước 2.5.1.2

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6$

Bước 2.5.2

Để viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.5.3

Kết hợp $- 6$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 2.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 2.5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12}{2}$

Bước 2.5.5.2

Trừ $12$ khỏi $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 3) = - \frac{3}{2}$

Bước 2.5.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 3$ là $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 2 (0)$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2 (0)$

Bước 2.8.1.2

Chia $0$ cho $2$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Bước 2.8.1.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Bước 2.8.2

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 0$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1)$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 (- 1)$

Bước 2.11.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2$

Bước 2.11.2

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.11.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Bước 2.11.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 1) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Bước 2.11.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4}{2}$

Bước 2.11.5.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{2}$

Bước 2.11.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- 1) = - \frac{3}{2}$

Bước 2.11.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- 2, - 2)$

Tiêu điểm: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Trục đối xứng: $x = - 2$

Đường chuẩn: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Bước 4