Đại số sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 30$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $2 x^{2} - 16 x + 30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = - 16$

$c = 30$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (2)}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 8}{2}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{1}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$d = - 4$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 30 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 30 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 30 - \frac{256}{8}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Chia $256$ cho $8$ .

$e = 30 - 1 \cdot 32$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $32$ .

$e = 30 - 32$

Bước 1.1.1.4.2.2

Trừ $32$ khỏi $30$ .

$e = - 2$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(x - 4)}^{2} - 2$ .

$2 {(x - 4)}^{2} - 2$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 2 {(x - 4)}^{2} - 2$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 2$

$h = 4$

$k = - 2$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(4, - 2)$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, - \frac{15}{8})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = 4$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{17}{8}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(4, - 2)$

Tiêu điểm: $(4, - \frac{15}{8})$

Trục đối xứng: $x = 4$

Đường chuẩn: $y = - \frac{17}{8}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(4, - 2)$

Tiêu điểm: $(4, - \frac{15}{8})$

Trục đối xứng: $x = 4$

Đường chuẩn: $y = - \frac{17}{8}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3 + 30$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 16 \cdot 3 + 30$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $9$ .

$f (3) = 18 - 16 \cdot 3 + 30$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 16$ với $3$ .

$f (3) = 18 - 48 + 30$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $48$ khỏi $18$ .

$f (3) = - 30 + 30$

Bước 2.2.2.2

Cộng $- 30$ và $30$ .

$f (3) = 0$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = 3$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 30$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 16 \cdot 2 + 30$

Bước 2.5.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 16 \cdot 2 + 30$

Bước 2.5.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (2) = 2^{3} - 16 \cdot 2 + 30$

Bước 2.5.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2) = 8 - 16 \cdot 2 + 30$

Bước 2.5.1.3

Nhân $- 16$ với $2$ .

$f (2) = 8 - 32 + 30$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $32$ khỏi $8$ .

$f (2) = - 24 + 30$

Bước 2.5.2.2

Cộng $- 24$ và $30$ .

$f (2) = 6$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $6$ .

$6$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = 2$ là $6$ .

$y = 6$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

$f (5) = 2 {(5)}^{2} - 16 \cdot 5 + 30$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (5) = 2 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 30$

Bước 2.8.1.2

Nhân $2$ với $25$ .

$f (5) = 50 - 16 \cdot 5 + 30$

Bước 2.8.1.3

Nhân $- 16$ với $5$ .

$f (5) = 50 - 80 + 30$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ $80$ khỏi $50$ .

$f (5) = - 30 + 30$

Bước 2.8.2.2

Cộng $- 30$ và $30$ .

$f (5) = 0$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = 5$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 2.10

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f (6) = 2 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 + 30$

Bước 2.11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f (6) = 2 \cdot 36 - 16 \cdot 6 + 30$

Bước 2.11.1.2

Nhân $2$ với $36$ .

$f (6) = 72 - 16 \cdot 6 + 30$

Bước 2.11.1.3

Nhân $- 16$ với $6$ .

$f (6) = 72 - 96 + 30$

Bước 2.11.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Trừ $96$ khỏi $72$ .

$f (6) = - 24 + 30$

Bước 2.11.2.2

Cộng $- 24$ và $30$ .

$f (6) = 6$

Bước 2.11.3

Câu trả lời cuối cùng là $6$ .

$6$

Bước 2.12

Giá trị $y$ tại $x = 6$ là $6$ .

$y = 6$

Bước 2.13

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 2 \\ 5 & 0 \\ 6 & 6 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(4, - 2)$

Tiêu điểm: $(4, - \frac{15}{8})$

Trục đối xứng: $x = 4$

Đường chuẩn: $y = - \frac{17}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6 \\ 3 & 0 \\ 4 & - 2 \\ 5 & 0 \\ 6 & 6 \end{array}$

Bước 4