Đại số sơ cấp Ví dụ

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm nơi biểu thức $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ không xác định.

$x \leq 0$

Bước 1.2

Vì $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên trái và $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ khi $x$ $\to$ $0$ từ phía bên phải, thì $x = 0$ là một tiệm cận đứng.

$x = 0$

Bước 1.3

Tính $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ để tìm tiệm cận ngang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.2.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.2.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.3.1

Một hằng số khác 0 nhân với vô cùng là vô cùng.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.2.3.2

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Bước 1.3.2.1.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Bước 1.3.2.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Bước 1.3.2.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.4.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.5

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 1.3.2.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Bước 1.3.2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Bước 1.3.2.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.5.1

Nhân $\frac{1}{2 x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Bước 1.3.2.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Bước 1.3.2.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Bước 1.3.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Bước 1.3.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Bước 1.3.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Bước 1.3.3.2

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 1.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 1.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Bước 1.3.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 0$

Bước 1.3.5.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 1.4

Liệt kê các tiệm cận ngang:

$y = 0$

Bước 1.5

Không có tiệm cận xiên nào tồn tại cho các hàm logarit và hàm lượng giác.

Không có các tiệm cận xiên

Bước 1.6

Đây là tập hợp của tất cả các tiệm cận.

Các tiệm cận đứng: $x = 0$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Các tiệm cận đứng: $x = 0$

Các tiệm cận ngang: $y = 0$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Bước 2.2.1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Bước 2.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Bước 2.2.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Bước 2.2.2.3

Chia $2$ cho $1$ .

$f (1) = 2$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 2.3

Quy đổi $2$ thành số thập phân.

$y = 2$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Bước 3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Bước 3.3

Quy đổi $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ thành số thập phân.

$y = 0.1534264$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Bước 4.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Bước 4.3

Quy đổi $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ thành số thập phân.

$y = - 0.02191384$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = 0$ và các điểm $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Tiệm cận đứng: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Bước 6