Đại số sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 7 x^{2} + 40 x - 12$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $7 x^{2} + 40 x - 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 7$

$b = 40$

$c = - 12$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $40$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 7$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (7)}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{20}{7}$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 12 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $40$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - 12 - \frac{1600}{4 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $7$ .

$e = - 12 - \frac{1600}{28}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1600$ và $28$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $1600$ .

$e = - 12 - \frac{4 (400)}{28}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$e = - 12 - \frac{4 \cdot 400}{4 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - 12 - \frac{4 \cdot 400}{4 \cdot 7}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = - 12 - \frac{400}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.2

Để viết $- 12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$e = - 12 \cdot \frac{7}{7} - \frac{400}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.3

Kết hợp $- 12$ và $\frac{7}{7}$ .

$e = \frac{- 12 \cdot 7}{7} - \frac{400}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 12 \cdot 7 - 400}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.5.1

Nhân $- 12$ với $7$ .

$e = \frac{- 84 - 400}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.5.2

Trừ $400$ khỏi $- 84$ .

$e = \frac{- 484}{7}$

Bước 1.1.1.4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{484}{7}$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $7 {(x + \frac{20}{7})}^{2} - \frac{484}{7}$ .

$7 {(x + \frac{20}{7})}^{2} - \frac{484}{7}$

Bước 1.1.2

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = 7 {(x + \frac{20}{7})}^{2} - \frac{484}{7}$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = 7$

$h = - \frac{20}{7}$

$k = - \frac{484}{7}$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên.

Quay mặt lõm lên

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(- \frac{20}{7}, - \frac{484}{7})$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Bước 1.5.3

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{1}{28}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ y $k$ nếu parabol quay mặt lõm trên hoặc xuống dưới.

$(h, k + p)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(- \frac{20}{7}, - \frac{1935}{28})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$x = - \frac{20}{7}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng nằm ngang tìm được bằng cách trừ $p$ từ tọa độ y $k$ của đỉnh nếu parabol lõm hoặc lồi.

$y = k - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $k$ vào công thức và rút gọn.

$y = - \frac{1937}{28}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{20}{7}, - \frac{484}{7})$

Tiêu điểm: $(- \frac{20}{7}, - \frac{1935}{28})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{20}{7}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{1937}{28}$

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{20}{7}, - \frac{484}{7})$

Tiêu điểm: $(- \frac{20}{7}, - \frac{1935}{28})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{20}{7}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{1937}{28}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = 7 {(- 4)}^{2} + 40 (- 4) - 12$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = 7 \cdot 16 + 40 (- 4) - 12$

Bước 2.2.1.2

Nhân $7$ với $16$ .

$f (- 4) = 112 + 40 (- 4) - 12$

Bước 2.2.1.3

Nhân $40$ với $- 4$ .

$f (- 4) = 112 - 160 - 12$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $160$ khỏi $112$ .

$f (- 4) = - 48 - 12$

Bước 2.2.2.2

Trừ $12$ khỏi $- 48$ .

$f (- 4) = - 60$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 60$ .

$- 60$

Bước 2.3

Giá trị $y$ tại $x = - 4$ là $- 60$ .

$y = - 60$

Bước 2.4

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = 7 {(- 2)}^{2} + 40 (- 2) - 12$

Bước 2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 7 \cdot 4 + 40 (- 2) - 12$

Bước 2.5.1.2

Nhân $7$ với $4$ .

$f (- 2) = 28 + 40 (- 2) - 12$

Bước 2.5.1.3

Nhân $40$ với $- 2$ .

$f (- 2) = 28 - 80 - 12$

Bước 2.5.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $80$ khỏi $28$ .

$f (- 2) = - 52 - 12$

Bước 2.5.2.2

Trừ $12$ khỏi $- 52$ .

$f (- 2) = - 64$

Bước 2.5.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 64$ .

$- 64$

Bước 2.6

Giá trị $y$ tại $x = - 2$ là $- 64$ .

$y = - 64$

Bước 2.7

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = 7 {(- 1)}^{2} + 40 (- 1) - 12$

Bước 2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = 7 \cdot 1 + 40 (- 1) - 12$

Bước 2.8.1.2

Nhân $7$ với $1$ .

$f (- 1) = 7 + 40 (- 1) - 12$

Bước 2.8.1.3

Nhân $40$ với $- 1$ .

$f (- 1) = 7 - 40 - 12$

Bước 2.8.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Trừ $40$ khỏi $7$ .

$f (- 1) = - 33 - 12$

Bước 2.8.2.2

Trừ $12$ khỏi $- 33$ .

$f (- 1) = - 45$

Bước 2.8.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 45$ .

$- 45$

Bước 2.9

Giá trị $y$ tại $x = - 1$ là $- 45$ .

$y = - 45$

Bước 2.10

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 60 \\ - \frac{20}{7} & - \frac{484}{7} \\ - 2 & - 64 \\ - 1 & - 45 \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: Quay mặt lõm lên

Đỉnh: $(- \frac{20}{7}, - \frac{484}{7})$

Tiêu điểm: $(- \frac{20}{7}, - \frac{1935}{28})$

Trục đối xứng: $x = - \frac{20}{7}$

Đường chuẩn: $y = - \frac{1937}{28}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 60 \\ - \frac{20}{7} & - \frac{484}{7} \\ - 2 & - 64 \\ - 1 & - 45 \end{array}$

Bước 4