Đại số sơ cấp Ví dụ

$x = - 16 y^{2} + 47 y + 3$

Bước 1

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Hoàn thành bình phương cho $- 16 y^{2} + 47 y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 16$

$b = 47$

$c = 3$

Bước 1.1.1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.1.1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{47}{2 \cdot - 16}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Nhân $2$ với $- 16$ .

$d = \frac{47}{- 32}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{47}{32}$

Bước 1.1.1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{47^{2}}{4 \cdot - 16}$

Bước 1.1.1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.1

Nâng $47$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 3 - \frac{2209}{4 \cdot - 16}$

Bước 1.1.1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 16$ .

$e = 3 - \frac{2209}{- 64}$

Bước 1.1.1.4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 3 - - \frac{2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.1.4

Nhân $- - \frac{2209}{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 3 + 1 (\frac{2209}{64})$

Bước 1.1.1.4.2.1.4.2

Nhân $\frac{2209}{64}$ với $1$ .

$e = 3 + \frac{2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} + \frac{2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} + \frac{2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{3 \cdot 64 + 2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.2.5.1

Nhân $3$ với $64$ .

$e = \frac{192 + 2209}{64}$

Bước 1.1.1.4.2.5.2

Cộng $192$ và $2209$ .

$e = \frac{2401}{64}$

Bước 1.1.1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$ .

$- 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$

Bước 1.1.2

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = - 16 {(y - \frac{47}{32})}^{2} + \frac{2401}{64}$

Bước 1.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{2401}{64}$

$k = \frac{47}{32}$

Bước 1.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm sang trái.

Quay mặt lõm sang trái

Bước 1.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Bước 1.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 1.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Bước 1.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $4$ với $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{64}$

Bước 1.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 1.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Bước 1.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = \frac{47}{32}$

Bước 1.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 1.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = \frac{1201}{32}$

Bước 1.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Tiêu điểm: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Trục đối xứng: $y = \frac{47}{32}$

Đường chuẩn: $x = \frac{1201}{32}$

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Tiêu điểm: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Trục đối xứng: $y = \frac{47}{32}$

Đường chuẩn: $x = \frac{1201}{32}$

Bước 2

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $x$ giá trị $35.515625$ vào $f (x) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(35.515625, \frac{47 + \sqrt{128}}{32})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $35.515625$ trong biểu thức.

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 \cdot 35.515625}}{32}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Nhân $- 64$ với $35.515625$ .

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 2273}}{32}$

Bước 2.1.2.1.2

Trừ $2273$ khỏi $2401$ .

$f (35.515625) = \frac{47 + \sqrt{128}}{32}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{47 + \sqrt{128}}{32}$ .

$y = \frac{47 + \sqrt{128}}{32}$

Bước 2.2

Thay $x$ giá trị $35.515625$ vào $f (x) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(35.515625, \frac{47 - \sqrt{128}}{32})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $35.515625$ trong biểu thức.

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 \cdot 35.515625}}{32}$

Bước 2.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $- 64$ với $35.515625$ .

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 2273}}{32}$

Bước 2.2.2.1.2

Trừ $2273$ khỏi $2401$ .

$f (35.515625) = \frac{47 - \sqrt{128}}{32}$

Bước 2.2.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{47 - \sqrt{128}}{32}$ .

$y = \frac{47 - \sqrt{128}}{32}$

Bước 2.3

Thay $x$ giá trị $36.515625$ vào $f (x) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(36.515625, 1.71875)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $36.515625$ trong biểu thức.

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 64 \cdot 36.515625}}{32}$

Bước 2.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $- 64$ với $36.515625$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{2401 - 2337}}{32}$

Bước 2.3.2.1.2

Trừ $2337$ khỏi $2401$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{64}}{32}$

Bước 2.3.2.1.3

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$f (36.515625) = \frac{47 + \sqrt{8^{2}}}{32}$

Bước 2.3.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (36.515625) = \frac{47 + 8}{32}$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $47$ và $8$ .

$f (36.515625) = \frac{55}{32}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $55$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Viết lại $55$ ở dạng $1 (55)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 (55)}{32}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Viết lại $32$ ở dạng $1 (32)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 55}{1 \cdot 32}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 55}{1 \cdot 32}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (36.515625) = \frac{55}{32}$

Bước 2.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{55}{32}$ .

$y = \frac{55}{32}$

Bước 2.3.3

Quy đổi $\frac{55}{32}$ thành số thập phân.

$= 1.71875$

Bước 2.4

Thay $x$ giá trị $36.515625$ vào $f (x) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 x}}{32}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(36.515625, 1.21875)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $36.515625$ trong biểu thức.

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 64 \cdot 36.515625}}{32}$

Bước 2.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nhân $- 64$ với $36.515625$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{2401 - 2337}}{32}$

Bước 2.4.2.1.2

Trừ $2337$ khỏi $2401$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{64}}{32}$

Bước 2.4.2.1.3

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - \sqrt{8^{2}}}{32}$

Bước 2.4.2.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (36.515625) = \frac{47 - 1 \cdot 8}{32}$

Bước 2.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f (36.515625) = \frac{47 - 8}{32}$

Bước 2.4.2.1.6

Trừ $8$ khỏi $47$ .

$f (36.515625) = \frac{39}{32}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $39$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $39$ ở dạng $1 (39)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 (39)}{32}$

Bước 2.4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Viết lại $32$ ở dạng $1 (32)$ .

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 39}{1 \cdot 32}$

Bước 2.4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (36.515625) = \frac{1 \cdot 39}{1 \cdot 32}$

Bước 2.4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (36.515625) = \frac{39}{32}$

Bước 2.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{39}{32}$ .

$y = \frac{39}{32}$

Bước 2.4.3

Quy đổi $\frac{39}{32}$ thành số thập phân.

$= 1.21875$

Bước 2.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 35.516 & 1.82 \\ 35.516 & 1.12 \\ 36.516 & 1.72 \\ 36.516 & 1.22 \\ \frac{2401}{64} & \frac{47}{32} \end{array}$

Bước 3

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{2401}{64}, \frac{47}{32})$

Tiêu điểm: $(\frac{75}{2}, \frac{47}{32})$

Trục đối xứng: $y = \frac{47}{32}$

Đường chuẩn: $x = \frac{1201}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 35.516 & 1.82 \\ 35.516 & 1.12 \\ 36.516 & 1.72 \\ 36.516 & 1.22 \\ \frac{2401}{64} & \frac{47}{32} \end{array}$

Bước 4