Đại số sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của elip.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng cho $81$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Bước 1.2

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một elip có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của hình elip bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Bước 5.3.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Bước 5.3.5

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Bước 5.3.6

Để viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Bước 5.3.7

Kết hợp $- 9$ và $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Bước 5.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Bước 5.3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.9.1

Nhân $- 9$ với $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Bước 5.3.9.2

Trừ $36$ khỏi $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Bước 5.3.10

Viết lại $\sqrt{\frac{45}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.1

Viết lại $45$ ở dạng $3^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.11.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.11.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Bước 5.3.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.12.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 5.3.12.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một elip bằng cách cộng $a$ vào $h$ .

$(h + a, k)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Bước 6.3

Rút gọn.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Bước 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Bước 6.5

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Bước 6.6

Rút gọn.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Bước 6.7

Elip có hai đỉnh.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tiêu điểm đầu tiên của một hình elip có thể tìm được bằng cách cộng $c$ vào $h$ .

$(h + c, k)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Bước 7.4

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hình elip bằng cách trừ $c$ từ $h$ .

$(h - c, k)$

Bước 7.5

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Bước 7.6

Rút gọn.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Bước 7.7

Elip có hai tiêu điểm.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.6

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.7

Để viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $- 9$ và $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.10.1

Nhân $- 9$ với $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.10.2

Trừ $36$ khỏi $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Bước 8.3.11

Viết lại $\sqrt{\frac{45}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1

Viết lại $45$ ở dạng $3^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.12.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.12.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.13.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Bước 8.3.14.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Bước 8.3.14.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Bước 8.3.14.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 8.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 8.3.14.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Bước 8.3.14.3

Kết hợp $\sqrt{5}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 9

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hình elip.

Tâm: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Tâm sai: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 10