Đại số sơ cấp Ví dụ

$4 x + y^{2} = 25$

Bước 1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = 25 - y^{2}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 25 - y^{2}$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 25 - y^{2}$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Bước 2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{4}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{4}$

Bước 3

Tìm các thuộc tính của parabol đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sắp xếp lại $\frac{25}{4}$ và $- \frac{y^{2}}{4}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$

Bước 3.1.2

Hoàn thành bình phương cho $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = \frac{25}{4}$

Bước 3.1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Bước 3.1.2.3.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Bước 3.1.2.3.2.3

Nhân $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Bước 3.1.2.3.2.3.2

Nhân $0$ với $- 4$ .

$d = 0$

Bước 3.1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Bước 3.1.2.4.2.1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Bước 3.1.2.4.2.1.3

Chia $- 4$ cho $4$ .

$e = \frac{25}{4} - \frac{0}{- 1}$

Bước 3.1.2.4.2.1.4

Chia $0$ cho $- 1$ .

$e = \frac{25}{4} - 0$

Bước 3.1.2.4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = \frac{25}{4} + 0$

Bước 3.1.2.4.2.2

Cộng $\frac{25}{4}$ và $0$ .

$e = \frac{25}{4}$

Bước 3.1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Bước 3.1.3

Đặt $x$ bằng với vế phải mới.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y + 0)}^{2} + \frac{25}{4}$

Bước 3.2

Sử dụng dạng đỉnh, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = \frac{25}{4}$

$k = 0$

Bước 3.3

Vì giá trị của $a$ âm, nên parabol quay mặt lõm sang trái.

Quay mặt lõm sang trái

Bước 3.4

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(\frac{25}{4}, 0)$

Bước 3.5

Tìm $p$ , khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tìm khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm của đường parabol bằng công thức sau.

$\frac{1}{4 a}$

Bước 3.5.2

Thay giá trị của $a$ vào công thức.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Bước 3.5.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Bước 3.5.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Bước 3.5.3.3

Chia $4$ cho $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Bước 3.5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{1}$

Bước 3.5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1$

Bước 3.5.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 3.6

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Có thể tìm tiêu điểm của một parabol bằng cách cộng $p$ vào tọa độ x $h$ nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$(h + p, k)$

Bước 3.6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $p$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(\frac{21}{4}, 0)$

Bước 3.7

Tìm trục đối xứng bằng cách tìm một đường thẳng đi qua đỉnh và tiêu điểm.

$y = 0$

Bước 3.8

Tìm đường chuẩn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Đường chuẩn của một parabol là đường thẳng đứng tìm được bằng cách trừ $p$ khỏi tọa độ x $h$ của đỉnh nếu parabol quay mặt lõm sang trái hoặc phải.

$x = h - p$

Bước 3.8.2

Thay các giá trị đã biết của $p$ và $h$ vào công thức và rút gọn.

$x = \frac{29}{4}$

Bước 3.9

Sử dụng các tính chất của parabol để phân tích và vẽ đồ thị đường parabol.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{25}{4}, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{21}{4}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = \frac{29}{4}$

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{25}{4}, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{21}{4}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = \frac{29}{4}$

Bước 4

Chọn một vài giá trị $x$ và điền chúng vào phương trình để tìm các giá trị $y$ tương ứng. Các giá trị $x$ nên được chọn xung quanh đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ giá trị $4.25$ vào $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(4.25, \sqrt{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $4.25$ trong biểu thức.

$f (4.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4.25$ .

$f (4.25) = \sqrt{25 - 17}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $17$ khỏi $25$ .

$f (4.25) = \sqrt{8}$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\sqrt{8}$ .

$y = \sqrt{8}$

Bước 4.2

Thay $x$ giá trị $4.25$ vào $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(4.25, - \sqrt{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $4.25$ trong biểu thức.

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 4.25}$

Bước 4.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $- 4$ với $4.25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{25 - 17}$

Bước 4.2.2.2

Trừ $17$ khỏi $25$ .

$f (4.25) = - \sqrt{8}$

Bước 4.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \sqrt{8}$ .

$y = - \sqrt{8}$

Bước 4.3

Thay $x$ giá trị $5.25$ vào $f (x) = \sqrt{25 - 4 x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(5.25, 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $5.25$ trong biểu thức.

$f (5.25) = \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $- 4$ với $5.25$ .

$f (5.25) = \sqrt{25 - 21}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $21$ khỏi $25$ .

$f (5.25) = \sqrt{4}$

Bước 4.3.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (5.25) = \sqrt{2^{2}}$

Bước 4.3.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (5.25) = 2$

Bước 4.3.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$y = 2$

Bước 4.4

Thay $x$ giá trị $5.25$ vào $f (x) = - \sqrt{25 - 4 x}$ . Trong trường hợp này, điểm là $(5.25, - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $5.25$ trong biểu thức.

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 4 \cdot 5.25}$

Bước 4.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân $- 4$ với $5.25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{25 - 21}$

Bước 4.4.2.2

Trừ $21$ khỏi $25$ .

$f (5.25) = - \sqrt{4}$

Bước 4.4.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (5.25) = - \sqrt{2^{2}}$

Bước 4.4.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (5.25) = - 1 \cdot 2$

Bước 4.4.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (5.25) = - 2$

Bước 4.4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$y = - 2$

Bước 4.5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Bước 5

Vẽ đồ thị parabol bằng các thuộc tính của nó và các điểm đã chọn.

Hướng: quay mặt lõm sang trái

Đỉnh: $(\frac{25}{4}, 0)$

Tiêu điểm: $(\frac{21}{4}, 0)$

Trục đối xứng: $y = 0$

Đường chuẩn: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4.25 & 2.83 \\ 4.25 & - 2.83 \\ 5.25 & 2 \\ 5.25 & - 2 \\ \frac{25}{4} & 0 \end{array}$

Bước 6