Đại số sơ cấp Ví dụ

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Bước 1

Cộng $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Bước 2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Bước 4

Viết lại để $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Bước 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Bước 6

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Bước 6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Bước 6.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Trừ $x^{3}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.5.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.5.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.5.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.6

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.6.1

Di chuyển $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.2.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Bước 7.1.3

Trừ $x^{3}$ khỏi $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Bước 7.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Bước 7.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Bước 7.3.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Bước 7.3.3

Nhân với $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Bước 7.3.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Bước 7.3.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Bước 7.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Bước 7.5

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 7.5.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 7.5.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 7.5.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 7.5.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 7.6

Đặt $x^{2} - 3 x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đặt $x^{2} - 3 x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Bước 7.6.2

Giải $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 3$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.3.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.4.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.5.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 7.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Bước 8

Tìm tập xác định của $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 8.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Ký hiệu khoảng:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Bước 11