Đại số sơ cấp Ví dụ

$(- 7, - 8)$ , $(- 5, - 7)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot - 5 - 8 \cdot - 7$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $- 7$ với $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 35 - 8 \cdot - 7$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 8$ với $- 7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 35 + 56$

Bước 2.2.2

Cộng $35$ và $56$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 91$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + {(- 8)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 64}$

Bước 3.2.3

Cộng $49$ và $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{113}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 7)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Bước 4.2.3

Cộng $25$ và $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{113} \sqrt{74}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{113 \cdot 74}})$

Bước 6.1.2

Nhân $113$ với $74$ .

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{8362}})$

Bước 6.2

Nhân $\frac{91}{\sqrt{8362}}$ với $\frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}}$ .

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{8362}} \cdot \frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}})$

Bước 6.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $\frac{91}{\sqrt{8362}}$ với $\frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}}$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{\sqrt{8362} \sqrt{8362}})$

Bước 6.3.2

Nâng $\sqrt{8362}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1} \sqrt{8362}})$

Bước 6.3.3

Nâng $\sqrt{8362}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1} {\sqrt{8362}}^{1}})$

Bước 6.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1 + 1}})$

Bước 6.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{2}})$

Bước 6.3.6

Viết lại ${\sqrt{8362}}^{2}$ ở dạng $8362$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{8362}$ ở dạng $8362^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{(8362^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{1}})$

Bước 6.3.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362})$

Bước 6.4

Tính $\arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362})$ .

$θ = 5.64824737$