Đại số sơ cấp Ví dụ

$(2, - 6)$ , $(5, 0)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 5 - 6 \cdot 0$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $2$ với $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 - 6 \cdot 0$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 6$ với $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 + 0$

Bước 2.2.2

Cộng $10$ và $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 6)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 36}$

Bước 3.2.3

Cộng $4$ và $36$ .

$| a⃗ | = \sqrt{40}$

Bước 3.2.4

Viết lại $40$ ở dạng $2^{2} \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $40$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Bước 3.2.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 0^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 0}$

Bước 4.2.3

Cộng $25$ và $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

Bước 4.2.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Bước 4.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| b⃗ | = 5$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{10}{2 \sqrt{10} \cdot 5})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 \sqrt{10} \cdot 5})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{10} \cdot 5$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 (\sqrt{10} \cdot 5)})$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 5}{2 (\sqrt{10} \cdot 5)})$

Bước 6.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{10} \cdot 5})$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{10} \cdot 5})$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{10}})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{10}}$ với $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{10}}$ với $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

Bước 6.4.2

Nâng $\sqrt{10}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Bước 6.4.3

Nâng $\sqrt{10}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Bước 6.4.6

Viết lại ${\sqrt{10}}^{2}$ ở dạng $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{10}$ ở dạng $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

Bước 6.4.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{10}}{10})$

Bước 6.5

Tính $\arccos (\frac{\sqrt{10}}{10})$ .

$θ = 71.56505117$