Đại số sơ cấp Ví dụ

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Bước 2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Bước 3.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Bước 3.2.3

Cộng $1$ và $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Bước 4.2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Bước 4.2.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 1$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Bước 6.1.3

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Bước 6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Bước 6.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Bước 6.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Bước 6.4.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Bước 6.4.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Bước 6.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.4.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.4.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.4.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Bước 6.4.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 6.5

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ là $135$ .

$θ = 135$