Đại số sơ cấp Ví dụ

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Bước 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Bước 2

Find the dot product.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nhân $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Bước 2.2.1.1.2

Nhân $5$ với $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Bước 2.2.2

Cộng $\frac{1}{25}$ và $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Bước 3

Tìm độ lớn của $a⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Bước 3.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Bước 3.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Bước 3.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Bước 3.2.5

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Bước 3.2.6

Kết hợp $9$ và $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Bước 3.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Bước 3.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Nhân $9$ với $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Bước 3.2.8.2

Cộng $1$ và $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Bước 3.2.9

Viết lại $\sqrt{\frac{226}{25}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Bước 3.2.10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Bước 3.2.10.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Bước 4

Tìm độ lớn của $b⃗$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Bước 4.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Bước 4.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Bước 4.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Bước 4.2.5

Cộng $\frac{1}{25}$ và $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Bước 4.2.6

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{25}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Bước 4.2.7

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Bước 4.2.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Bước 4.2.8.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Bước 5

Thay các giá trị vào công thức.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Bước 6.2

Nhân $\frac{\sqrt{226}}{5}$ với $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Bước 6.3

Nhân $5$ với $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Bước 6.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Bước 6.5

Nhân $\frac{25}{\sqrt{226}}$ với $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Bước 6.6.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Bước 6.7

Nhân $\frac{1}{\sqrt{226}}$ với $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Bước 6.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{226}}$ với $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Bước 6.8.2

Nâng $\sqrt{226}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Bước 6.8.3

Nâng $\sqrt{226}$ lên lũy thừa $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Bước 6.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Bước 6.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Bước 6.8.6

Viết lại ${\sqrt{226}}^{2}$ ở dạng $226$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{226}$ ở dạng $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Bước 6.8.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Bước 6.8.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.8.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Bước 6.8.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Bước 6.8.6.5

Tính số mũ.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Bước 6.9

Tính $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$