Đại số sơ cấp Ví dụ

$y^{2} = x^{2} + 100$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - x^{2} = 100$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} = 100$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng cho $100$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Bước 1.3

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{y^{2}}{100} - \frac{x^{2}}{100} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 10$

$b = 10$

$k = 0$

$h = 0$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(0, 0)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(10)}^{2} + {(10)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{100 + {(10)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{100 + 100}$

Bước 5.3.3

Cộng $100$ và $100$ .

$\sqrt{200}$

Bước 5.3.4

Viết lại $200$ ở dạng $10^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $100$ ra ngoài $200$ .

$\sqrt{100 (2)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2} \cdot 2}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$10 \sqrt{2}$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 10)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - 10)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(0, 10), (0, - 10)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, 10 \sqrt{2})$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(0, - 10 \sqrt{2})$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(0, 10 \sqrt{2}), (0, - 10 \sqrt{2})$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(10)}^{2} + {(10)}^{2}}}{10}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{100 + 10^{2}}}{10}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{100 + 100}}{10}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $100$ và $100$ .

$\frac{\sqrt{200}}{10}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $200$ ở dạng $10^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.4.1

Đưa $100$ ra ngoài $200$ .

$\frac{\sqrt{100 (2)}}{10}$

Bước 8.3.1.4.2

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}{10}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{10 \sqrt{2}}{10}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \sqrt{2}}{10}$

Bước 8.3.2.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$\sqrt{2}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{10^{2}}{10 \sqrt{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10^{2}$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Đưa $10$ ra ngoài $10^{2}$ .

$\frac{10 \cdot 10}{10 \sqrt{2}}$

Bước 9.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 \cdot 10}{10 (\sqrt{2})}$

Bước 9.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \cdot 10}{10 \sqrt{2}}$

Bước 9.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3.2

Nhân $\frac{10}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 9.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Nhân $\frac{10}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 9.3.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 9.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 9.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 9.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 9.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 9.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 9.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 9.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 9.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

Bước 9.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

Bước 9.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Bước 9.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 9.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

Bước 9.3.4.2.4

Chia $5 \sqrt{2}$ cho $1$ .

$5 \sqrt{2}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Bước 11

Rút gọn $1 \cdot x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $1 \cdot x$ và $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Bước 11.2

Nhân $x$ với $1$ .

$y = x$

Bước 12

Rút gọn $- 1 \cdot x + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $- 1 \cdot x$ và $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Bước 12.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = - x$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = x, y = - x$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(0, 0)$

Các đỉnh: $(0, 10), (0, - 10)$

Tiêu điểm: $(0, 10 \sqrt{2}), (0, - 10 \sqrt{2})$

Tâm sai: $\sqrt{2}$

Tham số tiêu: $5 \sqrt{2}$

Các đường tiệm cận: $y = x$ , $y = - x$

Bước 15