Đại số sơ cấp Ví dụ

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Bước 1

Viết lại $2^{x - 1}$ ở dạng $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 2

Viết lại $2^{2 x}$ dưới dạng số mũ.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 4

Thay $u$ bằng $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Bước 5.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Bước 5.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Bước 6

Cộng $- 4$ và $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Bước 7

Giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Bước 7.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{u}{2}$ vào tử số.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Bước 7.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Bước 7.1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Bước 7.1.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Bước 7.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 7.3

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = - 1$ , và $c = - 4$ vào công thức bậc hai và giải tìm $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.4.1.2.2

Nhân $- 8$ với $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.4.1.3

Cộng $1$ và $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Bước 7.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Bước 7.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Bước 8

Thay $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ cho $u$ trong $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Bước 9

Giải $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Bước 9.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Bước 9.3

Khai triển $\ln (2^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Bước 9.4

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Bước 9.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Bước 9.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Bước 10

Thay $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ cho $u$ trong $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Bước 11

Giải $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Bước 11.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Bước 11.3

Không thể giải phương trình vì $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ không xác định.

Không xác định

Bước 11.4

Không có đáp án nào cho $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Không có đáp án

Bước 12

Liệt kê các đáp án và làm cho phương trình đúng.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Bước 15