Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Bước 1

Để viết $\frac{x}{x^{2} - 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}}$

Bước 2

Để viết $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x - x^{2}}{x - x^{2}} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Bước 3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{x}{x^{2} - 1}$ với $\frac{x - x^{2}}{x - x^{2}}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x}{x - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{5 x}{x - x^{2}}$ với $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x^{2} - 1) (x - x^{2})} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x^{2} - 1) (x - x^{2})$ .

$\frac{x (x - x^{2})}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)} + \frac{5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5

Viết lại $\frac{x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x (x - x^{2}) + 5 x (x^{2} - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x (x^{2} - 1)$ .

$\frac{x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x (x - x^{2}) + x (5 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x (x - x^{2} + 5 (x^{2} - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.2

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$\frac{x (u + 4 u^{2} - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x (4 u^{2} + u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ và có tổng là $b = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{x (4 u^{2} + 1 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 4$ cộng $5$

$\frac{x (4 u^{2} + (- 4 + 5) u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (4 u^{2} - 4 u + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{x ((4 u^{2} - 4 u) + 5 u - 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (4 u (u - 1) + 5 (u - 1))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.3.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $u - 1$ .

$\frac{x ((u - 1) (4 u + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$\frac{x ((x - 1) (4 x + 5))}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.5

Đưa $x$ ra ngoài $x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x^{1} - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 - x^{2}) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{(x \cdot 1 + x (- x)) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.5.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.5.5

Nhân $x$ với $1 - x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1)}$

Bước 5.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x^{2} - 1^{2})}$

Bước 5.7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) ((x + 1) (x - 1))}$

Bước 5.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (1 - x) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - x) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1) - (x)) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x (- 1 (- 1 + x)) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (- 1 + x) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.8.6

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) (x + 1)}$

Bước 5.8.7

Nâng $x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) (x + 1)}$

Bước 5.8.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Bước 5.8.9

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.9

Rút gọn biểu thức $\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x - 1) (4 x + 5)}{x \cdot - 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Bước 5.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức $\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x - 1) (4 x + 5)}{(x - 1) (- 1 (x - 1) (x + 1))}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x + 5}{- 1 (x - 1) (x + 1)}$