Đại số sơ cấp Ví dụ

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

Bước 1

Trừ $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

Bước 2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.2

Để viết $\frac{x + 1}{x - 4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.3

Để viết $\frac{x - 2}{x + 4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x - 4) (x + 4)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{x + 1}{x - 4}$ với $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.4.2

Nhân $\frac{x - 2}{x + 4}$ với $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Khai triển $(x + 1) (x + 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.2.1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.2.1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.2.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.2.2

Cộng $4 x$ và $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.3

Khai triển $(x - 2) (x - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.4.1.2

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.4.1.3

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.4.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.6.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.7.6.2

Nhân $- 1$ với $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.8

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.9

Cộng $2 x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.10

Trừ $6 x$ khỏi $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.11

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.12

Cộng $4$ và $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.13

Trừ $32$ khỏi $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ và có tổng là $b = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2.1.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $4$ cộng $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 2.14.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 4

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 5

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 5$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 5$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Bước 6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Bước 7

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 8

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 9

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

Bước 10

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Bước 11

Tìm tập xác định của $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

Bước 11.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 11.2.2

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.2.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 11.2.2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 11.2.3

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.3.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 11.2.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 11.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 4) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = - 4, 4$

Bước 11.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 12

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Bước 13

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 13.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

Bước 13.1.3

Vế trái $4.5$ không nhỏ hơn vế phải $- 2.3$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 13.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 3$

Bước 13.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

Bước 13.2.3

Vế trái $- 4.\overline{714285}$ nhỏ hơn vế phải $- 1.\overline{571428}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < \frac{5}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < \frac{5}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 13.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

Bước 13.3.3

Vế trái $- 0.75$ không nhỏ hơn vế phải $- 2$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 13.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{5}{2} < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{5}{2} < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 13.4.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

Bước 13.4.3

Vế trái $- 3.\overline{857142}$ nhỏ hơn vế phải $- 2.\overline{428571}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 13.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 13.5.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

Bước 13.5.3

Vế trái $3.9$ không nhỏ hơn vế phải $- 1.7$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 13.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Sai

$\frac{5}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ Sai

$\frac{5}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 14

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 < x < - 2$ hoặc $\frac{5}{2} < x < 4$

Bước 15

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

Ký hiệu khoảng:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

Bước 16