Nhập bài toán...
Đại số tuyến tính Ví dụ
14x-21y-7z=1014x−21y−7z=10 , -4x+2y-2z=4−4x+2y−2z=4 , 56x-21y+7z=556x−21y+7z=5
Bước 1
Tìm AX=BAX=B từ hệ phương trình.
[14-21-7-42-256-217]⋅[xyz]=[1045]⎡⎢⎣14−21−7−42−256−217⎤⎥⎦⋅⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣1045⎤⎥⎦
Bước 2
Bước 2.1
Find the determinant.
Bước 2.1.1
Choose the row or column with the most 00 elements. If there are no 00 elements choose any row or column. Multiply every element in row 11 by its cofactor and add.
Bước 2.1.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|∣∣
∣∣+−+−+−+−+∣∣
∣∣
Bước 2.1.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a -− position on the sign chart.
Bước 2.1.1.3
The minor for a11a11 is the determinant with row 11 and column 11 deleted.
|2-2-217|∣∣∣2−2−217∣∣∣
Bước 2.1.1.4
Multiply element a11a11 by its cofactor.
14|2-2-217|14∣∣∣2−2−217∣∣∣
Bước 2.1.1.5
The minor for a12a12 is the determinant with row 11 and column 22 deleted.
|-4-2567|∣∣∣−4−2567∣∣∣
Bước 2.1.1.6
Multiply element a12a12 by its cofactor.
21|-4-2567|21∣∣∣−4−2567∣∣∣
Bước 2.1.1.7
The minor for a13a13 is the determinant with row 11 and column 33 deleted.
|-4256-21|∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.1.8
Multiply element a13a13 by its cofactor.
-7|-4256-21|−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.1.9
Add the terms together.
14|2-2-217|+21|-4-2567|-7|-4256-21|14∣∣∣2−2−217∣∣∣+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14|2-2-217|+21|-4-2567|-7|-4256-21|14∣∣∣2−2−217∣∣∣+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.2
Tính |2-2-217|∣∣∣2−2−217∣∣∣.
Bước 2.1.2.1
Có thể tìm được định thức của một 2×22×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
14(2⋅7-(-21⋅-2))+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(2⋅7−(−21⋅−2))+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.2.2
Rút gọn định thức.
Bước 2.1.2.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 2.1.2.2.1.1
Nhân 22 với 77.
14(14-(-21⋅-2))+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(14−(−21⋅−2))+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.2.2.1.2
Nhân -(-21⋅-2)−(−21⋅−2).
Bước 2.1.2.2.1.2.1
Nhân -21−21 với -2−2.
14(14-1⋅42)+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(14−1⋅42)+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.2.2.1.2.2
Nhân -1−1 với 4242.
14(14-42)+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(14−42)+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14(14-42)+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(14−42)+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14(14-42)+21|-4-2567|-7|-4256-21|14(14−42)+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.2.2.2
Trừ 4242 khỏi 1414.
14⋅-28+21|-4-2567|-7|-4256-21|14⋅−28+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14⋅-28+21|-4-2567|-7|-4256-21|14⋅−28+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14⋅-28+21|-4-2567|-7|-4256-21|14⋅−28+21∣∣∣−4−2567∣∣∣−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.3
Tính |-4-2567|∣∣∣−4−2567∣∣∣.
Bước 2.1.3.1
Có thể tìm được định thức của một 2×22×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
14⋅-28+21(-4⋅7-56⋅-2)-7|-4256-21|14⋅−28+21(−4⋅7−56⋅−2)−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.3.2
Rút gọn định thức.
Bước 2.1.3.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 2.1.3.2.1.1
Nhân -4−4 với 77.
14⋅-28+21(-28-56⋅-2)-7|-4256-21|14⋅−28+21(−28−56⋅−2)−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.3.2.1.2
Nhân -56−56 với -2−2.
14⋅-28+21(-28+112)-7|-4256-21|14⋅−28+21(−28+112)−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14⋅-28+21(-28+112)-7|-4256-21|14⋅−28+21(−28+112)−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.3.2.2
Cộng -28−28 và 112112.
14⋅-28+21⋅84-7|-4256-21|14⋅−28+21⋅84−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14⋅-28+21⋅84-7|-4256-21|14⋅−28+21⋅84−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
14⋅-28+21⋅84-7|-4256-21|14⋅−28+21⋅84−7∣∣∣−4256−21∣∣∣
Bước 2.1.4
Tính |-4256-21|∣∣∣−4256−21∣∣∣.
Bước 2.1.4.1
Có thể tìm được định thức của một 2×22×2 ma trận bằng công thức |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
14⋅-28+21⋅84-7(-4⋅-21-56⋅2)14⋅−28+21⋅84−7(−4⋅−21−56⋅2)
Bước 2.1.4.2
Rút gọn định thức.
Bước 2.1.4.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 2.1.4.2.1.1
Nhân -4−4 với -21−21.
14⋅-28+21⋅84-7(84-56⋅2)14⋅−28+21⋅84−7(84−56⋅2)
Bước 2.1.4.2.1.2
Nhân -56−56 với 22.
14⋅-28+21⋅84-7(84-112)14⋅−28+21⋅84−7(84−112)
14⋅-28+21⋅84-7(84-112)14⋅−28+21⋅84−7(84−112)
Bước 2.1.4.2.2
Trừ 112112 khỏi 8484.
14⋅-28+21⋅84-7⋅-2814⋅−28+21⋅84−7⋅−28
14⋅-28+21⋅84-7⋅-2814⋅−28+21⋅84−7⋅−28
14⋅-28+21⋅84-7⋅-2814⋅−28+21⋅84−7⋅−28
Bước 2.1.5
Rút gọn định thức.
Bước 2.1.5.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Bước 2.1.5.1.1
Nhân 1414 với -28−28.
-392+21⋅84-7⋅-28−392+21⋅84−7⋅−28
Bước 2.1.5.1.2
Nhân 2121 với 8484.
-392+1764-7⋅-28−392+1764−7⋅−28
Bước 2.1.5.1.3
Nhân -7−7 với -28−28.
-392+1764+196−392+1764+196
-392+1764+196−392+1764+196
Bước 2.1.5.2
Cộng -392−392 và 17641764.
1372+1961372+196
Bước 2.1.5.3
Cộng 13721372 và 196196.
15681568
15681568
15681568
Bước 2.2
Since the determinant is non-zero, the inverse exists.
Bước 2.3
Set up a 3×63×6 matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.
[14-21-7100-42-201056-217001]⎡⎢⎣14−21−7100−42−201056−217001⎤⎥⎦
Bước 2.4
Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.
Bước 2.4.1
Multiply each element of R1R1 by 114114 to make the entry at 1,11,1 a 11.
Bước 2.4.1.1
Multiply each element of R1R1 by 114114 to make the entry at 1,11,1 a 11.
[1414-2114-714114014014-42-201056-217001]⎡⎢
⎢⎣1414−2114−714114014014−42−201056−217001⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.1.2
Rút gọn R1R1.
[1-32-1211400-42-201056-217001]⎡⎢
⎢⎣1−32−1211400−42−201056−217001⎤⎥
⎥⎦
[1-32-1211400-42-201056-217001]⎡⎢
⎢⎣1−32−1211400−42−201056−217001⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.2
Perform the row operation R2=R2+4R1R2=R2+4R1 to make the entry at 2,12,1 a 00.
Bước 2.4.2.1
Perform the row operation R2=R2+4R1R2=R2+4R1 to make the entry at 2,12,1 a 00.
[1-32-1211400-4+4⋅12+4(-32)-2+4(-12)0+4(114)1+4⋅00+4⋅056-217001]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32−1211400−4+4⋅12+4(−32)−2+4(−12)0+4(114)1+4⋅00+4⋅056−217001⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.2.2
Rút gọn R2R2.
[1-32-12114000-4-4271056-217001]⎡⎢
⎢⎣1−32−12114000−4−4271056−217001⎤⎥
⎥⎦
[1-32-12114000-4-4271056-217001]⎡⎢
⎢⎣1−32−12114000−4−4271056−217001⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.3
Perform the row operation R3=R3-56R1R3=R3−56R1 to make the entry at 3,13,1 a 00.
Bước 2.4.3.1
Perform the row operation R3=R3-56R1R3=R3−56R1 to make the entry at 3,13,1 a 00.
[1-32-12114000-4-4271056-56⋅1-21-56(-32)7-56(-12)0-56(114)0-56⋅01-56⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−32−12114000−4−4271056−56⋅1−21−56(−32)7−56(−12)0−56(114)0−56⋅01−56⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.3.2
Rút gọn R3R3.
[1-32-12114000-4-4271006335-401]⎡⎢
⎢⎣1−32−12114000−4−4271006335−401⎤⎥
⎥⎦
[1-32-12114000-4-4271006335-401]⎡⎢
⎢⎣1−32−12114000−4−4271006335−401⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.4
Multiply each element of R2R2 by -14−14 to make the entry at 2,22,2 a 11.
Bước 2.4.4.1
Multiply each element of R2R2 by -14−14 to make the entry at 2,22,2 a 11.
[1-32-1211400-14⋅0-14⋅-4-14⋅-4-14⋅27-14⋅1-14⋅006335-401]⎡⎢
⎢⎣1−32−1211400−14⋅0−14⋅−4−14⋅−4−14⋅27−14⋅1−14⋅006335−401⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.4.2
Rút gọn R2R2.
[1-32-1211400011-114-14006335-401]⎡⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−14006335−401⎤⎥
⎥⎦
[1-32-1211400011-114-14006335-401]⎡⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−14006335−401⎤⎥
⎥⎦
Bước 2.4.5
Perform the row operation R3=R3-63R2R3=R3−63R2 to make the entry at 3,23,2 a 00.
Bước 2.4.5.1
Perform the row operation R3=R3-63R2R3=R3−63R2 to make the entry at 3,23,2 a 00.
[1-32-1211400011-114-1400-63⋅063-63⋅135-63⋅1-4-63(-114)0-63(-14)1-63⋅0]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−1400−63⋅063−63⋅135−63⋅1−4−63(−114)0−63(−14)1−63⋅0⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.5.2
Rút gọn R3R3.
[1-32-1211400011-114-14000-28126341]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−14000−28126341⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-32-1211400011-114-14000-28126341]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−14000−28126341⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.6
Multiply each element of R3R3 by -128−128 to make the entry at 3,33,3 a 11.
Bước 2.4.6.1
Multiply each element of R3R3 by -128−128 to make the entry at 3,33,3 a 11.
[1-32-1211400011-114-140-128⋅0-128⋅0-128⋅-28-128⋅12-128⋅634-128⋅1]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32−1211400011−114−140−128⋅0−128⋅0−128⋅−28−128⋅12−128⋅634−128⋅1⎤⎥
⎥
⎥⎦
Bước 2.4.6.2
Rút gọn R3.
[1-32-1211400011-114-140001-156-916-128]
[1-32-1211400011-114-140001-156-916-128]
Bước 2.4.7
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
Bước 2.4.7.1
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
[1-32-12114000-01-01-1-114+156-14+9160+128001-156-916-128]
Bước 2.4.7.2
Rút gọn R2.
[1-32-1211400010-356516128001-156-916-128]
[1-32-1211400010-356516128001-156-916-128]
Bước 2.4.8
Perform the row operation R1=R1+12R3 to make the entry at 1,3 a 0.
Bước 2.4.8.1
Perform the row operation R1=R1+12R3 to make the entry at 1,3 a 0.
[1+12⋅0-32+12⋅0-12+12⋅1114+12(-156)0+12(-916)0+12(-128)010-356516128001-156-916-128]
Bước 2.4.8.2
Rút gọn R1.
[1-320116-932-156010-356516128001-156-916-128]
[1-320116-932-156010-356516128001-156-916-128]
Bước 2.4.9
Perform the row operation R1=R1+32R2 to make the entry at 1,2 a 0.
Bước 2.4.9.1
Perform the row operation R1=R1+32R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+32⋅0-32+32⋅10+32⋅0116+32(-356)-932+32⋅516-156+32⋅128010-356516128001-156-916-128]
Bước 2.4.9.2
Rút gọn R1.
[100-156316128010-356516128001-156-916-128]
[100-156316128010-356516128001-156-916-128]
[100-156316128010-356516128001-156-916-128]
Bước 2.5
The right half of the reduced row echelon form is the inverse.
[-156316128-356516128-156-916-128]
[-156316128-356516128-156-916-128]
Bước 3
Nhân vào phía bên trái hai vế phương trình với ma trận nghịch đảo.
([-156316128-356516128-156-916-128]⋅[14-21-7-42-256-217])⋅[xyz]=[-156316128-356516128-156-916-128]⋅[1045]
Bước 4
Bất kỳ ma trận nào nhân với nghịch đảo của nó cũng sẽ luôn bằng 1.A⋅A-1=1.
[xyz]=[-156316128-356516128-156-916-128]⋅[1045]
Bước 5
Bước 5.1
Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is 3×3 and the second matrix is 3×1.
Bước 5.2
Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.
[-156⋅10+316⋅4+128⋅5-356⋅10+516⋅4+128⋅5-156⋅10-916⋅4-128⋅5]
Bước 5.3
Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.
[342528-7328]
[342528-7328]
Bước 6
Rút gọn vế trái và vế phải.
[xyz]=[342528-7328]
Bước 7
Tìm đáp án.
x=34
y=2528
z=-7328