Đại số tuyến tính Ví dụ

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array}]$

Bước 1

Consider the corresponding sign chart.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Bước 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 e^{- 2 x} & - 15 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 9 e^{- 2 x} & - 15 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Bước 2.1.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15

$a_{11} = 9 e^{- 2 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Nhân

- 3

$- 3$ với

9

$9$ .

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} - 3 e^{- 2 x} \cdot - 15$

Bước 2.1.2.2.1.2

Nhân

- 15

$- 15$ với

- 3

$- 3$ .

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}

$a_{11} = - 27 e^{- 2 x} + 45 e^{- 2 x}$

Bước 2.1.2.2.2

Cộng

- 27 e^{- 2 x}

$- 27 e^{- 2 x}$ và

45 e^{- 2 x}

$45 e^{- 2 x}$ .

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

a_{11} = 18 e^{- 2 x}

$a_{11} = 18 e^{- 2 x}$

Bước 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 12 e^{- 4 x} & - 15 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & - 15 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Bước 2.2.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15

$a_{12} = 12 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Nhân

- 3

$- 3$ với

12

$12$ .

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 15$

Bước 2.2.2.2.1.2

Nhân

- 15

$- 15$ với

- 3

$- 3$ .

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}

$a_{12} = - 36 e^{- 4 x} + 45 e^{- 4 x}$

Bước 2.2.2.2.2

Cộng

- 36 e^{- 4 x}

$- 36 e^{- 4 x}$ và

45 e^{- 4 x}

$45 e^{- 4 x}$ .

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

a_{12} = 9 e^{- 4 x}

$a_{12} = 9 e^{- 4 x}$

Bước 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Bước 2.3.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Có thể tìm được định thức của một

2 \times 2

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2.1.2

Nhân

e^{- 4 x}

$e^{- 4 x}$ với

e^{- 2 x}

$e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.2.1

Di chuyển

e^{- 2 x}

$e^{- 2 x}$ .

a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2.1.2.3

Trừ

4 x

$4 x$ khỏi

- 2 x

$- 2 x$ .

a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})

$a_{13} = 12 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2.1.3

Nhân

$12$ với

$3$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x})$

Bước 2.3.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x}$

Bước 2.3.2.2.1.5

Nhân

$e^{- 4 x}$ với

$e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.5.1

Di chuyển

$e^{- 2 x}$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x})$

Bước 2.3.2.2.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x}$

Bước 2.3.2.2.1.5.3

Trừ

$4 x$ khỏi

$- 2 x$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 3 \cdot 9 e^{- 6 x}$

Bước 2.3.2.2.1.6

Nhân

$- 3$ với

$9$ .

$a_{13} = 36 e^{- 6 x} - 27 e^{- 6 x}$

Bước 2.3.2.2.2

Trừ

$27 e^{- 6 x}$ khỏi

$36 e^{- 6 x}$ .

$a_{13} = 9 e^{- 6 x}$

Bước 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 3 e^{- 2 x} & - 3 \end{array} |$

Bước 2.4.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot - 3 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Nhân

$0$ với

$- 3$ .

$a_{21} = 0 - 3 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Bước 2.4.2.2.1.2

Nhân

$- 3$ với

$- 3$ .

$a_{21} = 0 + 9 e^{- 2 x}$

Bước 2.4.2.2.2

Cộng

$0$ và

$9 e^{- 2 x}$ .

$a_{21} = 9 e^{- 2 x}$

Bước 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 3 e^{- 4 x} & - 3 \end{array} |$

Bước 2.5.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 3 - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1.1

Nhân

$- 3$ với

$6$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Bước 2.5.2.2.1.2

Nhân

$- 3$ với

$- 3$ .

$a_{22} = - 18 e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Bước 2.5.2.2.2

Cộng

$- 18 e^{- 4 x}$ và

$9 e^{- 4 x}$ .

$a_{22} = - 9 e^{- 4 x}$

Bước 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 3 e^{- 4 x} & 3 e^{- 2 x} \end{array} |$

Bước 2.6.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 6 e^{- 4 x} (3 e^{- 2 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2.1.2

Nhân

$e^{- 4 x}$ với

$e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.2.1

Di chuyển

$e^{- 2 x}$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 2 x - 4 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2.1.2.3

Trừ

$4 x$ khỏi

$- 2 x$ .

$a_{23} = 6 \cdot 3 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2.1.3

Nhân

$6$ với

$3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} - 3 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.6.2.2.1.4

Nhân

$- 3 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.4.1

Nhân

$0$ với

$- 3$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Bước 2.6.2.2.1.4.2

Nhân

$0$ với

$e^{- 4 x}$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x} + 0$

Bước 2.6.2.2.2

Cộng

$18 e^{- 6 x}$ và

$0$ .

$a_{23} = 18 e^{- 6 x}$

Bước 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 3 \\ 9 e^{- 2 x} & - 15 \end{array} |$

Bước 2.7.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot - 15 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Bước 2.7.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1.1

Nhân

$0$ với

$- 15$ .

$a_{31} = 0 - 9 e^{- 2 x} \cdot - 3$

Bước 2.7.2.2.1.2

Nhân

$- 3$ với

$- 9$ .

$a_{31} = 0 + 27 e^{- 2 x}$

Bước 2.7.2.2.2

Cộng

$0$ và

$27 e^{- 2 x}$ .

$a_{31} = 27 e^{- 2 x}$

Bước 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & - 3 \\ 12 e^{- 4 x} & - 15 \end{array} |$

Bước 2.8.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 6 e^{- 4 x} \cdot - 15 - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Bước 2.8.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1.1

Nhân

$- 15$ với

$6$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot - 3$

Bước 2.8.2.2.1.2

Nhân

$- 3$ với

$- 12$ .

$a_{32} = - 90 e^{- 4 x} + 36 e^{- 4 x}$

Bước 2.8.2.2.2

Cộng

$- 90 e^{- 4 x}$ và

$36 e^{- 4 x}$ .

$a_{32} = - 54 e^{- 4 x}$

Bước 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 e^{- 4 x} & 0 \\ 12 e^{- 4 x} & 9 e^{- 2 x} \end{array} |$

Bước 2.9.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Có thể tìm được định thức của một

$2 \times 2$ ma trận bằng công thức

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 6 e^{- 4 x} (9 e^{- 2 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 4 x} e^{- 2 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2.1.2

Nhân

$e^{- 4 x}$ với

$e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1.2.1

Di chuyển

$e^{- 2 x}$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 (e^{- 2 x} e^{- 4 x}) - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 2 x - 4 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2.1.2.3

Trừ

$4 x$ khỏi

$- 2 x$ .

$a_{33} = 6 \cdot 9 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2.1.3

Nhân

$6$ với

$9$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} - 12 e^{- 4 x} \cdot 0$

Bước 2.9.2.2.1.4

Nhân

$- 12 e^{- 4 x} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1.4.1

Nhân

$0$ với

$- 12$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0 e^{- 4 x}$

Bước 2.9.2.2.1.4.2

Nhân

$0$ với

$e^{- 4 x}$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x} + 0$

Bước 2.9.2.2.2

Cộng

$54 e^{- 6 x}$ và

$0$ .

$a_{33} = 54 e^{- 6 x}$

Bước 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 18 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & 9 e^{- 6 x} \\ - 9 e^{- 2 x} & - 9 e^{- 4 x} & - 18 e^{- 6 x} \\ 27 e^{- 2 x} & 54 e^{- 4 x} & 54 e^{- 6 x} \end{array}]$