Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$

Bước 2

Ma trận đơn vị cỡ $2$ là ma trận vuông $2 \times 2$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $[\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Bước 3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{2}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 4.1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Bước 4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} h - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Bước 4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} h - λ & 0 \\ 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} h - λ & 0 \\ 1 & - 2 - λ \end{array}]$

Bước 5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (h - λ) (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Khai triển $(h - λ) (- 2 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = h (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = h \cdot - 2 + h (- λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = h \cdot - 2 + h (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $h$ .

$p (λ) = - 2 \cdot h + h (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = - 2 h - h λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.3

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.2.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Bước 5.2.3

Trừ $0$ khỏi $- 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2}$

Bước 5.2.4

Di chuyển $2 λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + λ^{2} + 2 λ$

Bước 5.2.5

Di chuyển $- 2 h$ .

$p (λ) = - h λ + λ^{2} - 2 h + 2 λ$