Đại số tuyến tính Ví dụ

$A = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}]$

Bước 1

Tìm các trị riêng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$

Bước 1.2

Ma trận đơn vị cỡ $3$ là ma trận vuông $3 \times 3$ có đường chéo chính gồm các hệ số một và phần còn lại là các hệ số không.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 1.3

Thay các giá trị đã biết vào $p (λ) = định thức (A - λ I_{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}]$ bằng $A$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] - λ I_{3})$

Bước 1.3.2

Thay $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ bằng $I_{3}$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.3.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.4.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.6

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.6.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.6.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.7

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.7.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.7.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.8

Nhân $- λ \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.8.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.8.2

Nhân $0$ với $λ$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Bước 1.4.1.2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Bước 1.4.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Cộng $1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.2

Cộng $4$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.3

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.5

Cộng $- 5$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.4.3.6

Cộng $- 1$ và $0$ .

$p (λ) = định thức [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 4 \\ 0 & - 4 - λ & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 - λ \end{array}]$

Bước 1.5

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$

Bước 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} | + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.5.2

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$

Bước 1.5.3

Nhân $0$ với $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} | + 0$

Bước 1.5.4

Tính $| \begin{array}{c} 1 - λ & 4 \\ - 5 & - 8 - λ \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) ((1 - λ) (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Khai triển $(1 - λ) (- 8 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 (- 8 - λ) - λ (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 \cdot - 8 + 1 (- λ) - λ (- 8 - λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (1 \cdot - 8 + 1 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1.1

Nhân $- 8$ với $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 1 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.2

Nhân $- λ$ với $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.3

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.1.7

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 - λ + 8 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.2.2

Cộng $- λ$ và $8 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 4)) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.3

Nhân $- (- 5 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.3.1

Nhân $- 5$ với $4$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} - - 20) + 0$

Bước 1.5.4.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $- 20$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (- 8 + 7 λ + λ^{2} + 20) + 0$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $- 8$ và $20$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (7 λ + λ^{2} + 12) + 0$

Bước 1.5.4.2.3

Sắp xếp lại $7 λ$ và $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$

Bước 1.5.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1.1

Cộng $0$ và $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12) + 0$

Bước 1.5.5.1.2

Cộng $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ và $0$ .

$p (λ) = (- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$

Bước 1.5.5.2

Khai triển $(- 4 - λ) (λ^{2} + 7 λ + 12)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 (7 λ) - 4 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.1

Nhân $7$ với $- 4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 4 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.2

Nhân $- 4$ với $12$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.3

Nhân $λ$ với $λ^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.3.1

Di chuyển $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - (λ^{2} λ) - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.3.2

Nhân $λ^{2}$ với $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.3.2.1

Nâng $λ$ lên lũy thừa $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{2 + 1} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - λ (7 λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.5

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.3.5.1

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 (λ \cdot λ) - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.5.2

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot 7 λ^{2} - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.6

Nhân $- 1$ với $7$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 7 λ^{2} - λ \cdot 12$

Bước 1.5.5.3.7

Nhân $12$ với $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 7 λ^{2} - 12 λ$

Bước 1.5.5.4

Trừ $7 λ^{2}$ khỏi $- 4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 28 λ - 48 - λ^{3} - 12 λ$

Bước 1.5.5.5

Trừ $12 λ$ khỏi $- 28 λ$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 - λ^{3}$

Bước 1.5.5.6

Di chuyển $- 48$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - 40 λ - λ^{3} - 48$

Bước 1.5.5.7

Di chuyển $- 40 λ$ .

$p (λ) = - 11 λ^{2} - λ^{3} - 40 λ - 48$

Bước 1.5.5.8

Sắp xếp lại $- 11 λ^{2}$ và $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48$

Bước 1.6

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$- λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 = 0$

Bước 1.7

Giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- λ^{3} - 11 λ^{2} - 40 λ - 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 11 λ^{2} - 40 λ - 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 11 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - 40 λ - 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 40 λ$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - (40 λ) - 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.4

Viết lại $- 48$ ở dạng $- 1 (48)$ .

$- (λ^{3}) - (11 λ^{2}) - (40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (λ^{3}) - (11 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2}) - (40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (λ^{3} + 11 λ^{2}) - (40 λ)$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ) - 1 \cdot 48 = 0$

Bước 1.7.1.1.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ) - 1 (48)$ .

$- (λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48) = 0$

Bước 1.7.1.2

Phân tích $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Bước 1.7.1.2.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Bước 1.7.1.2.3

Thay $- 3$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 3$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.3.1

Thay $- 3$ vào đa thức.

${(- 3)}^{3} + 11 {(- 3)}^{2} + 40 \cdot - 3 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$- 27 + 11 {(- 3)}^{2} + 40 \cdot - 3 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$- 27 + 11 \cdot 9 + 40 \cdot - 3 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.4

Nhân $11$ với $9$ .

$- 27 + 99 + 40 \cdot - 3 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.5

Cộng $- 27$ và $99$ .

$72 + 40 \cdot - 3 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.6

Nhân $40$ với $- 3$ .

$72 - 120 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.7

Trừ $120$ khỏi $72$ .

$- 48 + 48$

Bước 1.7.1.2.3.8

Cộng $- 48$ và $48$ .

$0$

Bước 1.7.1.2.4

Vì $- 3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $λ + 3$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48}{λ + 3}$

Bước 1.7.1.2.5

Chia $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ cho $λ + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.2.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$40 λ$

$48$

Bước 1.7.1.2.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $λ^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$

Bước 1.7.1.2.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Bước 1.7.1.2.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $λ^{3} + 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Bước 1.7.1.2.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$

Bước 1.7.1.2.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$

Bước 1.7.1.2.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $8 λ^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$

Bước 1.7.1.2.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					+	$8 λ^{2}$	+	$24 λ$

Bước 1.7.1.2.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $8 λ^{2} + 24 λ$

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$

Bước 1.7.1.2.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$

Bước 1.7.1.2.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$

Bước 1.7.1.2.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $16 λ$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$

Bước 1.7.1.2.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							+	$16 λ$	+	$48$

Bước 1.7.1.2.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $16 λ + 48$

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							-	$16 λ$	-	$48$

Bước 1.7.1.2.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$λ^{2}$	+	$8 λ$	+	$16$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	+	$40 λ$	+	$48$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$8 λ^{2}$	+	$40 λ$
					-	$8 λ^{2}$	-	$24 λ$
							+	$16 λ$	+	$48$
							-	$16 λ$	-	$48$
										$0$

Bước 1.7.1.2.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$λ^{2} + 8 λ + 16$

Bước 1.7.1.2.6

Viết $λ^{3} + 11 λ^{2} + 40 λ + 48$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 8 λ + 16)) = 0$

Bước 1.7.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.3.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1.3.1.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 8 λ + 4^{2})) = 0$

Bước 1.7.1.3.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 λ = 2 \cdot λ \cdot 4$

Bước 1.7.1.3.1.3

Viết lại đa thức này.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Bước 1.7.1.3.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = λ$ và $b = 4$ .

$- ((λ + 3) {(λ + 4)}^{2}) = 0$

Bước 1.7.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (λ + 3) {(λ + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.7.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$λ + 3 = 0$

${(λ + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.7.3

Đặt $λ + 3$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Đặt $λ + 3$ bằng với $0$ .

$λ + 3 = 0$

Bước 1.7.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$λ = - 3$

Bước 1.7.4

Đặt ${(λ + 4)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.1

Đặt ${(λ + 4)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(λ + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.7.4.2

Giải ${(λ + 4)}^{2} = 0$ để tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.4.2.1

Đặt $λ + 4$ bằng $0$ .

$λ + 4 = 0$

Bước 1.7.4.2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$λ = - 4$

Bước 1.7.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (λ + 3) {(λ + 4)}^{2} = 0$ đúng.

$λ = - 3, - 4$

Bước 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Bước 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $3$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.3

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.4

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.6

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.7

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.8

Nhân $3$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 3.2.1.2.9

Nhân $3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 1 + 3 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Cộng $1$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.3

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 + 3 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.5

Cộng $- 4$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.7

Cộng $- 5$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.8

Cộng $- 1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 + 3 \end{array}]$

Bước 3.2.3.9

Cộng $- 8$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 \\ 0 & - 1 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 \end{array}]$

Bước 3.3

Find the null space when $λ = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{1}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 5 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{1}{4}) & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.2.5.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Bước 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Bước 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Bước 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Bước 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $4$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Nhân $4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.3

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.4

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.5

Nhân $4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.6

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 \cdot 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.7

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 4 \cdot 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.8

Nhân $4$ với $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.2.1.2.9

Nhân $4$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 1 + 4 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Cộng $1$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.3

Cộng $4$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 + 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.4

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & - 4 + 4 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.5

Cộng $- 4$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 0 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.7

Cộng $- 5$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 + 0 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.8

Cộng $- 1$ và $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 8 + 4 \end{array}]$

Bước 4.2.3.9

Cộng $- 8$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 \end{array}]$

Bước 4.3

Find the null space when $λ = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 & - 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 1 + 5 (\frac{1}{5}) & - 4 + 5 (\frac{4}{5}) & 0 + 5 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} y + \frac{4}{5} z = 0$

$0 = 0$

Bước 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{5} - \frac{4 z}{5} \\ y \\ z \end{array}]$

Bước 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Bước 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Bước 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Bước 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{4}{5} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$