Đại số tuyến tính Ví dụ

\sqrt{5} + i \sqrt{5}

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó

| z |

$| z |$ là mô-đun và

θ

$θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó

z = a + b i

$z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$ và

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4

Tìm

| z |

$| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng

5

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ ở dạng

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.1.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.1.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.1.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại

${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng

$5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

$\sqrt{5}$ ở dạng

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Bước 4.3

Cộng

$5$ và

$5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ nhất, giá trị của góc là

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Bước 7

Thay các giá trị của

$θ = \frac{π}{4}$ và

$| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$