Đại số tuyến tính Ví dụ

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{2}{3}$ và $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.3

Nhân $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Bước 4.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Bước 4.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Bước 4.8

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Bước 4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Bước 4.10

Cộng $1$ và $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Bước 4.11

Viết lại $\sqrt{\frac{5}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Bước 4.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 4.12.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ tư, giá trị của góc là $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = - 0.4636476$ và $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$