Đại số tuyến tính Ví dụ

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Bước 1

Viết lại

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ ở dạng

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Bước 2

Khai triển

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Bước 3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân

4

$4$ với

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Bước 3.1.2

Nhân

- 3

$- 3$ với

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Bước 3.1.3

Nhân

4

$4$ với

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Bước 3.1.4

Nhân

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Nhân

- 3

$- 3$ với

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Bước 3.1.4.2

Nâng

i

$i$ lên lũy thừa

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Bước 3.1.4.3

Nâng

i

$i$ lên lũy thừa

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Bước 3.1.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Bước 3.1.4.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Bước 3.1.5

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Bước 3.1.6

Nhân

$9$ với

$- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Bước 3.2

Trừ

$9$ khỏi

$16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Bước 3.3

Trừ

$12 i$ khỏi

$- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Bước 5

Nhân

$7$ với

$- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Bước 6

Nhân

$- 5 i (- 24 i)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân

$- 24$ với

$- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Bước 6.2

Nâng

$i$ lên lũy thừa

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Bước 6.3

Nâng

$i$ lên lũy thừa

$1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Bước 6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Bước 6.5

Cộng

$1$ và

$1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Bước 7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại

$i^{2}$ ở dạng

$- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Bước 7.2

Nhân

$120$ với

$- 1$ .

$- 35 i - 120$

Bước 8

Sắp xếp lại

$- 35 i$ và

$- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Bước 9

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó

$| z |$ là mô-đun và

$θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 10

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó

$z = a + b i$

Bước 11

Thay các giá trị thực tế của

$a = - 120$ và

$b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Bước 12

Tìm

$| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nâng

$- 35$ lên lũy thừa

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Bước 12.2

Nâng

$- 120$ lên lũy thừa

$2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Bước 12.3

Cộng

$1225$ và

$14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Bước 12.4

Viết lại

$15625$ ở dạng

$125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Bước 12.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 125$

Bước 13

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Bước 14

Vì tang nghịch đảo của

$\frac{- 35}{- 120}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là

$3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Bước 15

Thay các giá trị của

$θ = 3.42538676$ và

$| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$