Đại số tuyến tính Ví dụ

[\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 x \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ x \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ

$ℝ^{2}$ tới

$ℝ^{2}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

$ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho

$M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \end{array}]$

Bước 7

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$