Đại số tuyến tính Ví dụ

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 725 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ u + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 4 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ v + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 528 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ w = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 35 - 18 102 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ

$ℝ^{0}$ tới

$ℝ^{3}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

$ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho

$M$ .

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$M$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 7

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$