Đại số tuyến tính Ví dụ

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 4 & 6 1 & - 3 & 5 3 & - 7 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ x = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1472 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 4 & 6 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 3 & - 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ

$ℝ^{3}$ tới

$ℝ^{3}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho

$M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 7

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$