Đại số tuyến tính Ví dụ

$x - [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 4 \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ $ℝ^{2}$ tới $ℝ^{2}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 7

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$