Đại số tuyến tính Ví dụ

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 5 a + 3 b - 2 d \\ 0 a + 4 b - d \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 14 \\ 2 \end{array}]$

Bước 1

Write as an augmented matrix for $x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) x = [\begin{array}{c} 14 \\ 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 5 a + 3 b - 2 d & 14 \\ 0 a + 4 b - d & 2 \end{array}]$

Bước 2

Write as a linear system of equations.

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$0 a + 4 b - d = 2$

Bước 3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $0 a + 4 b - d = 2$ .

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$a \cdot 0 + 4 b - d = 2$

Bước 3.1.2

Di chuyển $a \cdot 0$ .

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$4 b - d + a \cdot 0 = 2$

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$4 b - d + a \cdot 0 = 2$

Bước 3.2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & - 2 & 14 \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 3.3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 3.3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{3}{5}) & 0 - 4 (- \frac{2}{5}) & 2 - 4 (\frac{14}{5}) \end{array}]$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & - \frac{17}{5} & \frac{8}{5} & - \frac{46}{5} \end{array}]$

Bước 3.3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ - \frac{5}{17} \cdot 0 & - \frac{5}{17} (- \frac{17}{5}) & - \frac{5}{17} \cdot \frac{8}{5} & - \frac{5}{17} (- \frac{46}{5}) \end{array}]$

Bước 3.3.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Bước 3.3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{3}{5} (- \frac{8}{17}) & \frac{14}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{46}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Bước 3.3.4.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{17} & \frac{20}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Bước 3.4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$a - \frac{2}{17} d = \frac{20}{17}$

$b - \frac{8}{17} d = \frac{46}{17}$

Bước 3.5

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{20}{17} + \frac{2 d}{17} \\ \frac{46}{17} + \frac{8 d}{17} \\ d \end{array}]$

Bước 3.6

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{20}{17} \\ \frac{46}{17} \\ 0 \end{array}] + d [\begin{array}{c} \frac{2}{17} \\ \frac{8}{17} \\ 1 \end{array}]$

Bước 3.7

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} \frac{20}{17} \\ \frac{46}{17} \\ 0 \end{array}] + d [\begin{array}{c} \frac{2}{17} \\ \frac{8}{17} \\ 1 \end{array}] | d \in R}$