Đại số tuyến tính Ví dụ

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ $ℝ^{3}$ tới $ℝ^{3}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $x_{1} + y_{1} + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Bước 6.3

Sắp xếp lại $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Bước 7

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Bước 8

Tính chất cộng của phép biến đổi thỏa mãn.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Bước 9

Để phép biến đổi là tuyến tính, nó phải bảo toàn tính chất phép nhân vô hướng.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Bước 10

Phân tích $p$ thành thừa số từ mỗi phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $p$ với mỗi phần tử trong ma trận.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Bước 10.2

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Bước 10.3

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Sắp xếp lại $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ (p a) + 2 (p b) + p c \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Bước 10.3.2

Sắp xếp lại $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 (p a + p b + 2 (p c)) \end{array}]$

Bước 10.3.3

Sắp xếp lại $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 12 b p + 12 c p \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Bước 10.4

Phân tích mỗi phần tử của ma trận thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Phân tích phần tử $0, 0$ thành thừa số bằng cách nhân với $2 a p - 12 b p + 12 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ a p + 2 b p + c p \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Bước 10.4.2

Phân tích phần tử $1, 0$ thành thừa số bằng cách nhân với $a p + 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 a p + 2 b p + 4 c p \end{array}]$

Bước 10.4.3

Phân tích phần tử $2, 0$ thành thừa số bằng cách nhân với $2 a p + 2 b p + 4 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

Bước 11

Tính chất thứ hai của các phép biến đổi tuyến tính được bảo toàn trong phép biến đổi này.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Bước 12

Để phép biến đổi là tuyến tính, vectơ 0 phải được bảo toàn.

$S (0) = 0$

Bước 13

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Bước 14

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sắp xếp lại $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Bước 14.2

Sắp xếp lại $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + 0 + 2 (0) \end{array}]$

Bước 14.3

Sắp xếp lại $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 15

Vectơ không được bảo toàn bởi phép biến đổi.

$S (0) = 0$

Bước 16

Vì cả ba tính chất của phép biến đổi tuyến tính đều không được đáp ứng, đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

Phép biến đổi tuyến tính