Đại số tuyến tính Ví dụ

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ $ℝ^{3}$ tới $ℝ^{3}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Bước 6

Sắp xếp lại $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Bước 7

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 8

Vì tính chất biến đổi phép cộng không áp dụng được, nên đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$