Đại số tuyến tính Ví dụ

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Bước 1

Triệt tiêu thừa số chung $6 - i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Bước 1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Bước 2

Nhân $\frac{6}{6 + i}$ với $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Bước 3

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{6}{6 + 1 i}$ với liên hợp của $6 + 1 i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Bước 4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Bước 4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Bước 4.2.2

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Bước 4.2.3

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Bước 4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Khai triển $(6 + 1 i) (6 - i)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Bước 4.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Bước 4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $6$ với $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Bước 4.3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Bước 4.3.2.5

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Bước 4.3.2.6

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Bước 4.3.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Bước 4.3.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Bước 4.3.2.9

Cộng $- 6 i$ và $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Bước 4.3.2.10

Cộng $36$ và $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Bước 4.3.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Bước 4.3.4

Cộng $36$ và $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Bước 5

Tách phân số $\frac{36 - 6 i}{37}$ thành hai phân số.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Bước 7

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 8

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 9

Thay các giá trị thực tế của $a = \frac{36}{37}$ và $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ với $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.2.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.2.4

Nâng $37$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Bước 10.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Bước 10.2.6

Nâng $36$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Bước 10.2.7

Nâng $37$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Bước 10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Bước 10.2.9

Cộng $36$ và $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung của $1332$ và $1369$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $37$ ra ngoài $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $37$ ra ngoài $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Bước 10.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Bước 10.4

Viết lại $\sqrt{\frac{36}{37}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Bước 10.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Bước 10.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Bước 10.6

Nhân $\frac{6}{\sqrt{37}}$ với $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Bước 10.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Nhân $\frac{6}{\sqrt{37}}$ với $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Bước 10.7.2

Nâng $\sqrt{37}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Bước 10.7.3

Nâng $\sqrt{37}$ lên lũy thừa $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Bước 10.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Bước 10.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Bước 10.7.6

Viết lại ${\sqrt{37}}^{2}$ ở dạng $37$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{37}$ ở dạng $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 10.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 10.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Bước 10.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Bước 10.7.6.5

Tính số mũ.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Bước 11

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Bước 12

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ tư, giá trị của góc là $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Bước 13

Thay các giá trị của $θ = - 0.16514867$ và $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$