Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] - 3 \cdot [\begin{array}{c} 8 & 7 & 11 \\ 3 & 6 & 3 \\ 5 & 1 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $- 3$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 8 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $- 3$ với $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 3 \cdot 7 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.2

Nhân $- 3$ với $7$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 3 \cdot 11 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 3$ với $11$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 3 \cdot 3 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 3$ với $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 3 \cdot 6 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.5

Nhân $- 3$ với $6$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 3 \cdot 3 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.6

Nhân $- 3$ với $3$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 3 \cdot 5 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.7

Nhân $- 3$ với $5$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.8

Nhân $- 3$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 3 \cdot 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 1.2.9

Nhân $- 3$ với $8$ .

$[\begin{array}{c} 34 & 23 & 49 \\ 15 & 3 & 24 \\ 19 & 20 & 25 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 24 & - 21 & - 33 \\ - 9 & - 18 & - 9 \\ - 15 & - 3 & - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 2

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 34 - 24 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $24$ khỏi $34$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 23 - 21 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.2

Trừ $21$ khỏi $23$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 49 - 33 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.3

Trừ $33$ khỏi $49$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 15 - 9 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.4

Trừ $9$ khỏi $15$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & 3 - 18 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.5

Trừ $18$ khỏi $3$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 24 - 9 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.6

Trừ $9$ khỏi $24$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 19 - 15 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.7

Trừ $15$ khỏi $19$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 20 - 3 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.8

Trừ $3$ khỏi $20$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 25 - 24 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 3.9

Trừ $24$ khỏi $25$ .

$[\begin{array}{c} 10 & 2 & 16 \\ 6 & - 15 & 15 \\ 4 & 17 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 1 & 3 \\ 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 4

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 10 + 2 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5

Simplify each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $10$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 2 + 1 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.2

Cộng $2$ và $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 16 + 3 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.3

Cộng $16$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 6 + 1 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.4

Cộng $6$ và $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 15 - 1 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.5

Trừ $1$ khỏi $- 15$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 15 + 2 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.6

Cộng $15$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 4 + 1 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.7

Cộng $4$ và $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 17 + 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.8

Cộng $17$ và $2$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 1 + 1 \end{array}]$

Bước 5.9

Cộng $1$ và $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 3 & 19 \\ 7 & - 16 & 17 \\ 5 & 19 & 2 \end{array}]$

Bước 6

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 6.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 6.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Bước 6.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$

Bước 6.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Bước 6.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Bước 6.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 6.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 6.9

Add the terms together.

$12 | \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 7

Tính $| \begin{array}{c} - 16 & 17 \\ 19 & 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 (- 16 \cdot 2 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 7.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $- 16$ với $2$ .

$12 (- 32 - 19 \cdot 17) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 19$ với $17$ .

$12 (- 32 - 323) - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 7.2.2

Trừ $323$ khỏi $- 32$ .

$12 \cdot - 355 - 3 | \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} | + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 8

Tính $| \begin{array}{c} 7 & 17 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (7 \cdot 2 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 8.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân $7$ với $2$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 5 \cdot 17) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 5$ với $17$ .

$12 \cdot - 355 - 3 (14 - 85) + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 8.2.2

Trừ $85$ khỏi $14$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 | \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$

Bước 9

Tính $| \begin{array}{c} 7 & - 16 \\ 5 & 19 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (7 \cdot 19 - 5 \cdot - 16)$

Bước 9.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $7$ với $19$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 - 5 \cdot - 16)$

Bước 9.2.1.2

Nhân $- 5$ với $- 16$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 (133 + 80)$

Bước 9.2.2

Cộng $133$ và $80$ .

$12 \cdot - 355 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Bước 10

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Nhân $12$ với $- 355$ .

$- 4260 - 3 \cdot - 71 + 19 \cdot 213$

Bước 10.1.2

Nhân $- 3$ với $- 71$ .

$- 4260 + 213 + 19 \cdot 213$

Bước 10.1.3

Nhân $19$ với $213$ .

$- 4260 + 213 + 4047$

Bước 10.2

Cộng $- 4260$ và $213$ .

$- 4047 + 4047$

Bước 10.3

Cộng $- 4047$ và $4047$ .

$0$