Đại số tuyến tính Ví dụ

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Bước 1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Bước 2.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Rút gọn.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn ${(- x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.3.1.3

Nhân ${(x^{2})}^{2}$ với $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Bước 2.3.3.1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.3.1.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x > x^{4}$

Bước 2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $x^{4}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x - x^{4} > 0$

Bước 2.4.2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x - x^{4} = 0$

Bước 2.4.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x - x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Bước 2.4.3.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Bước 2.4.3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Bước 2.4.3.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Bước 2.4.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Bước 2.4.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Bước 2.4.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Bước 2.4.3.4.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Bước 2.4.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Bước 2.4.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Bước 2.4.5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.4.6

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 2.4.6.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 2.4.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.6.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 2.4.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.6.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 2.4.7

Đặt $1 + x + x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Đặt $1 + x + x^{2}$ bằng với $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Bước 2.4.7.2

Giải $1 + x + x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.4.7.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.7.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.7.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.7.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.7.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.4.7.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.4.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ đúng.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.5

Tìm tập xác định của $x^{2} + \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 2.5.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[0, \infty)$

Bước 2.6

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Bước 2.7

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 2.7.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Bước 2.7.1.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

Sai

Bước 2.7.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 2.7.2.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Bước 2.7.2.3

Vế trái $0.95710678$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.7.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.7.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Bước 2.7.3.3

Vế trái $18$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.7.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

$x < 0$ Sai

$0 < x < 1$ Đúng

$x > 1$ Đúng

Bước 2.8

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x < 1$ hoặc $x > 1$

Bước 3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 4

Đặt mẫu số trong $\frac{e^{x}}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Bước 6