Đại số tuyến tính Ví dụ

{| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong

{| p + q |}^{2}

${| p + q |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

{(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Bước 1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong

{| p - q |}^{2}

${| p - q |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Bước 2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong

{| p |}^{2}

${| p |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Bước 2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong

{| q |}^{2}

${| q |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

{(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Bước 3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa

$p$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ

$2 p^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại

${(p + q)}^{2}$ ở dạng

$(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.2

Khai triển

$(p + q) (p + q)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Nhân

$p$ với

$p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.3.1.2

Nhân

$q$ với

$q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.3.2

Cộng

$p q$ và

$q p$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Sắp xếp lại

$q$ và

$p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.3.2.2

Cộng

$p q$ và

$p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.4

Viết lại

${(p - q)}^{2}$ ở dạng

$(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.5

Khai triển

$(p - q) (p - q)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.1

Nhân

$p$ với

$p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.4

Nhân

$q$ với

$q$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1.4.1

Di chuyển

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.4.2

Nhân

$q$ với

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.5

Nhân

$- 1$ với

$- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.1.6

Nhân

$q^{2}$ với

$1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.2

Trừ

$q p$ khỏi

$- p q$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Di chuyển

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.2.6.2.2

Trừ

$p q$ khỏi

$- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ

$2 p q$ khỏi

$2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.3.2

Cộng

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ và

$0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.4

Cộng

$p^{2}$ và

$p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Trừ

$2 p^{2}$ khỏi

$2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Bước 3.5.2

Cộng

$q^{2} + q^{2}$ và

$0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Bước 3.6

Cộng

$q^{2}$ và

$q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ cho

$2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ cho

$2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Bước 4.2.1.2

Chia

$q^{2}$ cho

$1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Bước 4.3.1.2

Chia

$q^{2}$ cho

$1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Bước 5

Vì các số mũ bằng nhau, nên cơ số của các số mũ ở cả hai vế của phương trình cũng phải bằng nhau.

$| q | = | q |$

Bước 6

Giải tìm

$q$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình chứa giá trị tuyệt đối ở dạng bốn phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Bước 6.2

Sau khi rút gọn, chỉ có hai phương trình duy nhất cần giải.

$q = q$

$q = - q$

Bước 6.3

Giải

$q = q$ để tìm

$q$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa

$q$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Trừ

$q$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$q - q = 0$

Bước 6.3.1.2

Trừ

$q$ khỏi

$q$ .

$0 = 0$

Bước 6.3.2

Vì

$0 = 0$ , phương trình luôn đúng.

Luôn đúng

Bước 6.4

Giải

$q = - q$ để tìm

$q$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa

$q$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Cộng

$q$ cho cả hai vế của phương trình.

$q + q = 0$

Bước 6.4.1.2

Cộng

$q$ và

$q$ .

$2 q = 0$

Bước 6.4.2

Chia mỗi số hạng trong

$2 q = 0$ cho

$2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong

$2 q = 0$ cho

$2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Chia

$q$ cho

$1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Bước 6.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Chia

$0$ cho

$2$ .

$q = 0$

Bước 6.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$q = 0$

Bước 7

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 8