Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + 2 y + 3 z = 5$ , $3 x - y + 2 z = 8$ , $4 x - 6 y - 4 = - 2$

Bước 1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x + 2 y + 3 z = 5, 3 x - y + 2 z = 8, 4 x - 6 y = - 2 + 4$

Bước 2

Cộng $- 2$ và $4$ .

$x + 2 y + 3 z = 5, 3 x - y + 2 z = 8, 4 x - 6 y = 2$

Bước 3

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 & - 1 & 2 & 8 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 2 - 3 \cdot 3 & 8 - 3 \cdot 5 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 4.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 4 & - 6 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 6 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 3 & 2 - 4 \cdot 5 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & - 7 & - 7 & - 7 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Bước 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 14 & - 12 & - 18 \end{array}]$

Bước 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 12 + 14 \cdot 1 & - 18 + 14 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & - 4 \end{array}]$

Bước 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 4}{2} \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 11 - 2 \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 4.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Bước 5

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = 5$

$y = 3$

$z = - 2$

Bước 6

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(5, 3, - 2)$

Bước 7

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array}]$