Đại số tuyến tính Ví dụ

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

Bước 1

Trừ $3 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Bước 2

Để tìm giao điểm của đường thẳng qua một điểm $(p, q, r)$ vuông góc với mặt phẳng $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ và mặt phẳng $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tìm các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $P_{1}$ và mặt phẳng $P_{2}$ trong đó các véc tơ pháp tuyến là $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ và $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 không.

2. Tạo một tập hợp các phương trình tham số như $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ .

3. Thay các phương trình này vào phương trình mặt phẳng $P_{2}$ sao cho $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ và giải tìm $t$ .

4. Sử dụng giá trị của $t$ , giải các phương trình tham số $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ để tìm $t$ để tìm giao điểm $(x, y, z)$ .

Bước 3

Tìm các vectơ thường cho mỗi mặt phẳng và xác định xem chúng có vuông góc không bằng cách tính tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

$P_{1}$ là $y - 3 x = 2$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Bước 3.2

$P_{2}$ là $x - 4 y = 9$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Bước 3.3

Tính tích vô hướng của $n_{1}$ và $n_{2}$ bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị tương ứng $x$ , $y$ , và $z$ trong các véc tơ pháp tuyến.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4

Rút gọn tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.3

Nhân $0$ với $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Bước 3.4.3

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Trừ $4$ khỏi $- 3$ .

$- 7 + 0$

Bước 3.4.3.2

Cộng $- 7$ và $0$ .

$- 7$

Bước 4

Tiếp theo, ta xây dựng một tập hợp các phương trình tham số $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ bằng gốc tọa độ $(0, 0, 0)$ cho điểm $(p, q, r)$ và các giá trị từ vectơ pháp tuyến $- 7$ cho các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ . Tập hợp các phương trình tham số này biểu diễn đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Bước 5

Thay biểu thức cho $x$ , $y$ và $z$ vào phương trình cho $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Bước 6

Giải phương trình để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Trừ $3 \cdot t$ khỏi $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Bước 6.1.1.2

Cộng $0$ và $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Bước 6.1.2

Nhân $t$ với $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Bước 6.1.3

Trừ $4 t$ khỏi $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- 7 t = 9$ cho $- 7$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 7 t = 9$ cho $- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $t$ cho $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t = - \frac{9}{7}$

Bước 7

Giải các phương trình tham số cho $x$ , $y$ , và $z$ bằng giá trị của $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Bước 7.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Bước 7.1.3

Rút gọn $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Nhân $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Bước 7.1.3.1.2

Kết hợp $3$ và $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Bước 7.1.3.1.3

Nhân $3$ với $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Bước 7.1.3.2

Cộng $0$ và $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Bước 7.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Bước 7.2.3

Rút gọn $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $- \frac{9}{7}$ với $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Bước 7.2.3.2

Trừ $\frac{9}{7}$ khỏi $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Bước 7.3

Giải phương trình để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Bước 7.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Bước 7.3.3

Rút gọn $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Nhân $0 (- \frac{9}{7})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Bước 7.3.3.1.2

Nhân $0$ với $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Bước 7.3.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$z = 0$

Bước 7.4

Các phương trình tham số đã giải cho $x$ , $y$ , và $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Bước 8

Sử dụng các giá trị được tính cho $x$ , $y$ và $z$ , giao điểm tìm được là $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$