Đại số tuyến tính Ví dụ

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Bước 1

Cộng $16 x^{2}$ và $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Bước 2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3

Thay các giá trị $a = 25$ , $b = - 100$ , và $c = 48 x^{2} - 284$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $- 100$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 4$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.4

Nhân $48$ với $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.5

Nhân $- 100$ với $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.6

Cộng $10000$ và $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.7

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.7.2

Đưa $4800$ ra ngoài $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.7.3

Đưa $4800$ ra ngoài $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.8

Viết lại $4800 (- x^{2} + 8)$ ở dạng $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Đưa $1600$ ra ngoài $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.8.2

Viết lại $1600$ ở dạng $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Bước 4.3

Rút gọn $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $- 100$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 4$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.4

Nhân $48$ với $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.5

Nhân $- 100$ với $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.6

Cộng $10000$ và $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.7

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.7.1

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.7.2

Đưa $4800$ ra ngoài $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.7.3

Đưa $4800$ ra ngoài $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.8

Viết lại $4800 (- x^{2} + 8)$ ở dạng $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Đưa $1600$ ra ngoài $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.8.2

Viết lại $1600$ ở dạng $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Bước 5.3

Rút gọn $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 5.5

Đưa $2$ ra ngoài $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 5.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Bước 5.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $- 100$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.4

Nhân $48$ với $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.5

Nhân $- 100$ với $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.6

Cộng $10000$ và $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.7

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.7.1

Đưa $4800$ ra ngoài $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.7.2

Đưa $4800$ ra ngoài $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.7.3

Đưa $4800$ ra ngoài $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.8

Viết lại $4800 (- x^{2} + 8)$ ở dạng $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.8.1

Đưa $1600$ ra ngoài $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.8.2

Viết lại $1600$ ở dạng $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.8.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Bước 6.3

Rút gọn $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 6.5

Đưa $2$ ra ngoài $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Bước 6.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Bước 6.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Bước 8

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 9.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Bước 9.1.2.1.2

Chia $- x^{2} + 8$ cho $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Bước 9.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Bước 9.2

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 8$

Bước 9.3

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 8$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 8$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 9.3.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Bước 9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Chia $- 8$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Bước 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Bước 9.5

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Bước 9.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1

Rút gọn $\sqrt{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Bước 9.5.2.1.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 9.5.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Bước 9.5.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 9.6

Viết $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 9.6.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 9.6.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 9.6.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 9.6.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Bước 9.7

Tìm phần giao của $x \leq 2 \sqrt{2}$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 9.8

Giải $- x \leq 2 \sqrt{2}$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 9.8.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 9.8.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Bước 9.8.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Bước 9.8.1.3.2

Viết lại $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ ở dạng $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Bước 9.8.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Bước 9.8.2

Tìm phần giao của $x \geq - 2 \sqrt{2}$ và $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Bước 9.9

Tìm hợp của các đáp án.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Bước 10

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Bước 11