Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} - 7 & - 8 & 3 \\ 6 & 4 & 4 \\ 2 & 8 & 4 \end{array}]$

Bước 1

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Bước 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Bước 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 8 & 4 \end{array} |$

Bước 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 8 & 4 \end{array} |$

Bước 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Bước 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Bước 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.1.9

Add the terms together.

$- 7 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 8 & 4 \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.2

Tính $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 8 & 4 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 7 (4 \cdot 4 - 8 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$- 7 (16 - 8 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $- 8$ với $4$ .

$- 7 (16 - 32) + 8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.2.2.2

Trừ $32$ khỏi $16$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.3

Tính $| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 (6 \cdot 4 - 2 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.3.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Nhân $6$ với $4$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 (24 - 2 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.3.2.1.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 (24 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.3.2.2

Trừ $8$ khỏi $24$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 \cdot 16 + 3 | \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Bước 1.4

Tính $| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 \cdot 16 + 3 (6 \cdot 8 - 2 \cdot 4)$

Bước 1.4.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nhân $6$ với $8$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 \cdot 16 + 3 (48 - 2 \cdot 4)$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 \cdot 16 + 3 (48 - 8)$

Bước 1.4.2.2

Trừ $8$ khỏi $48$ .

$- 7 \cdot - 16 + 8 \cdot 16 + 3 \cdot 40$

Bước 1.5

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $- 7$ với $- 16$ .

$112 + 8 \cdot 16 + 3 \cdot 40$

Bước 1.5.1.2

Nhân $8$ với $16$ .

$112 + 128 + 3 \cdot 40$

Bước 1.5.1.3

Nhân $3$ với $40$ .

$112 + 128 + 120$

Bước 1.5.2

Cộng $112$ và $128$ .

$240 + 120$

Bước 1.5.3

Cộng $240$ và $120$ .

$360$

Bước 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} - 7 & - 8 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{7}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 8 & - \frac{1}{7} \cdot 3 & - \frac{1}{7} \cdot 1 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 6 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 6 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 4 - 6 (\frac{8}{7}) & 4 - 6 (- \frac{3}{7}) & 0 - 6 (- \frac{1}{7}) & 1 - 6 \cdot 0 & 0 - 6 \cdot 0 \\ 2 & 8 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & \frac{46}{7} & \frac{6}{7} & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & \frac{46}{7} & \frac{6}{7} & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 8 - 2 (\frac{8}{7}) & 4 - 2 (- \frac{3}{7}) & 0 - 2 (- \frac{1}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{7} & \frac{46}{7} & \frac{6}{7} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{40}{7} & \frac{34}{7} & \frac{2}{7} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{7}{20}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ - \frac{7}{20} \cdot 0 & - \frac{7}{20} (- \frac{20}{7}) & - \frac{7}{20} \cdot \frac{46}{7} & - \frac{7}{20} \cdot \frac{6}{7} & - \frac{7}{20} \cdot 1 & - \frac{7}{20} \cdot 0 \\ 0 & \frac{40}{7} & \frac{34}{7} & \frac{2}{7} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{23}{10} & - \frac{3}{10} & - \frac{7}{20} & 0 \\ 0 & \frac{40}{7} & \frac{34}{7} & \frac{2}{7} & 0 & 1 \end{array}]$

Bước 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{40}{7} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{23}{10} & - \frac{3}{10} & - \frac{7}{20} & 0 \\ 0 - \frac{40}{7} \cdot 0 & \frac{40}{7} - \frac{40}{7} \cdot 1 & \frac{34}{7} - \frac{40}{7} (- \frac{23}{10}) & \frac{2}{7} - \frac{40}{7} (- \frac{3}{10}) & 0 - \frac{40}{7} (- \frac{7}{20}) & 1 - \frac{40}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 4.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{23}{10} & - \frac{3}{10} & - \frac{7}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 2 & 2 & 1 \end{array}]$

Bước 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{18}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{18}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{23}{10} & - \frac{3}{10} & - \frac{7}{20} & 0 \\ \frac{0}{18} & \frac{0}{18} & \frac{18}{18} & \frac{2}{18} & \frac{2}{18} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{23}{10} & - \frac{3}{10} & - \frac{7}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{23}{10} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{23}{10} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{23}{10} \cdot 0 & 1 + \frac{23}{10} \cdot 0 & - \frac{23}{10} + \frac{23}{10} \cdot 1 & - \frac{3}{10} + \frac{23}{10} \cdot \frac{1}{9} & - \frac{7}{20} + \frac{23}{10} \cdot \frac{1}{9} & 0 + \frac{23}{10} \cdot \frac{1}{18} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.7.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & - \frac{3}{7} & - \frac{1}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{7} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{7} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} + \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \cdot 1 & - \frac{1}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{9} & 0 + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{9} & 0 + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{18} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{8}{7} & 0 & - \frac{2}{21} & \frac{1}{21} & \frac{1}{42} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{7} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} - \frac{8}{7} \cdot 1 & 0 - \frac{8}{7} \cdot 0 & - \frac{2}{21} - \frac{8}{7} (- \frac{2}{45}) & \frac{1}{21} - \frac{8}{7} (- \frac{17}{180}) & \frac{1}{42} - \frac{8}{7} \cdot \frac{23}{180} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 4.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{2}{45} & \frac{7}{45} & - \frac{11}{90} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$

Bước 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{45} & \frac{7}{45} & - \frac{11}{90} \\ - \frac{2}{45} & - \frac{17}{180} & \frac{23}{180} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{18} \end{array}]$