Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

Bước 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Bước 2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $e^{t}$ với $e^{2 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Di chuyển $e^{2 t}$ .

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2.1.2.3

Cộng $2 t$ và $t$ .

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2.1.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Bước 2.2.1.4

Nhân $e^{t}$ với $e^{2 t}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.4.1

Di chuyển $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

Bước 2.2.1.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

Bước 2.2.1.4.3

Cộng $2 t$ và $t$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

Bước 2.2.2

Trừ $2 e^{3 t}$ khỏi $6 e^{3 t}$ .

$4 e^{3 t}$

Bước 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

Bước 5

Nhân $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ và $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 t}$ và $e^{3 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.6

Kết hợp $e^{2 t}$ và $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.7

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 t}$ và $e^{3 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.9.4

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.10

Kết hợp $e^{t}$ và $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.11

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{t}$ và $e^{3 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.11.2.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Bước 6.12

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Bước 6.13

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Bước 6.14

Kết hợp $\frac{3}{4 e^{3 t}}$ và $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Bước 6.15

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{t}$ và $e^{3 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $3 e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Bước 6.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.2.1

Đưa $e^{3 t}$ ra ngoài $4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Bước 6.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Bước 6.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$