Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Bước 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Bước 2

Find the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Bước 2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Bước 2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Bước 2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Bước 2.2.1.2

Nhân $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Bước 2.2.1.2.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Bước 2.2.1.2.4

Nhân $3$ với $6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Bước 2.2.2

Để viết $- \frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Bước 2.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Bước 2.2.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Bước 2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Bước 2.2.5

Cộng $- 6$ và $1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Bước 2.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{18}$

Bước 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Bước 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Bước 5

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Bước 5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Bước 6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Bước 7

Nhân $\frac{18}{5}$ với $1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Bước 8

Nhân $- \frac{18}{5}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{18}{5}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.1.4

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{- 6}{5}$ và $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.3

Nhân $- 6$ với $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.5

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{18}{5}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.5.2

Đưa $6$ ra ngoài $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.5.4

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{18}{5}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.7.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{3}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.7.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.7.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.7.5

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.8

Kết hợp $\frac{- 6}{5}$ và $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.9

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.10.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{18}{5}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Bước 9.10.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Bước 9.10.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Bước 9.10.4

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Bước 9.10.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Bước 9.10.6

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Bước 9.11

Nhân $\frac{- 9}{5}$ với $\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Bước 9.12

Nhân $- 9$ với $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Bước 9.13

Nhân $5$ với $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$