Đại số tuyến tính Ví dụ

$\frac{x + y}{7} = \frac{y + 4}{5}$ ,

$\frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}$ ,

$\frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ

$\frac{y + 4}{5}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x + y}{7} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.2

Để viết

$\frac{x + y}{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.3

Để viết

$- \frac{y + 4}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{x + y}{7} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là

$35$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Nhân

$\frac{x + y}{7}$ với

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{7 \cdot 5} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.4.2

Nhân

$7$ với

$5$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{y + 4}{5} \cdot \frac{7}{7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.4.3

Nhân

$\frac{y + 4}{5}$ với

$\frac{7}{7}$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{5 \cdot 7} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.4.4

Nhân

$5$ với

$7$ .

$\frac{(x + y) \cdot 5}{35} - \frac{(y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + y) \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 5 + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.2

Di chuyển

$5$ sang phía bên trái của

$x$ .

$\frac{5 \cdot x + y \cdot 5 - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.3

Di chuyển

$5$ sang phía bên trái của

$y$ .

$\frac{5 \cdot x + 5 \cdot y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.4

Nhân

$5$ với

$y$ .

$\frac{5 x + 5 y - (y + 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.6

Nhân

$- 1$ với

$4$ .

$\frac{5 x + 5 y + (- y - 4) \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x + 5 y - y \cdot 7 - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.8

Nhân

$7$ với

$- 1$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 4 \cdot 7}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.9

Nhân

$- 4$ với

$7$ .

$\frac{5 x + 5 y - 7 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 1.6.10

Trừ

$7 y$ khỏi

$5 y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} = \frac{y - 4}{2}, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ

$\frac{y - 4}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.2

Để viết

$\frac{x - z}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.3

Để viết

$- \frac{y - 4}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x - z}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là

$10$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân

$\frac{x - z}{5}$ với

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.4.2

Nhân

$5$ với

$2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{y - 4}{2} \cdot \frac{5}{5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.4.3

Nhân

$\frac{y - 4}{2}$ với

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{2 \cdot 5} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.4.4

Nhân

$2$ với

$5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2}{10} - \frac{(y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{(x - z) \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{x \cdot 2 - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.2

Di chuyển

$2$ sang phía bên trái của

$x$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - z \cdot 2 - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.3

Nhân

$2$ với

$- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 \cdot x - 2 z - (y - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y - - 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.5

Nhân

$- 1$ với

$- 4$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z + (- y + 4) \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - y \cdot 5 + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.7

Nhân

$5$ với

$- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 4 \cdot 5}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 2.6.8

Nhân

$4$ với

$5$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} = \frac{x + 2}{10}$

Bước 3

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ

$\frac{x + 2}{10}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Bước 3.2

Để viết

$\frac{y - z}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} = 0$

Bước 3.3

Để viết

$- \frac{x + 2}{10}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y - z}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Bước 3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là

$30$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân

$\frac{y - z}{3}$ với

$\frac{10}{10}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Bước 3.4.2

Nhân

$3$ với

$10$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{x + 2}{10} \cdot \frac{3}{3} = 0$

Bước 3.4.3

Nhân

$\frac{x + 2}{10}$ với

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{10 \cdot 3} = 0$

Bước 3.4.4

Nhân

$10$ với

$3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10}{30} - \frac{(x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{(y - z) \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{y \cdot 10 - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.2

Di chuyển

$10$ sang phía bên trái của

$y$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - z \cdot 10 - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.3

Nhân

$10$ với

$- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 \cdot y - 10 z - (x + 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 1 \cdot 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.5

Nhân

$- 1$ với

$2$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z + (- x - 2) \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - x \cdot 3 - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.7

Nhân

$3$ với

$- 1$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 2 \cdot 3}{30} = 0$

Bước 3.6.8

Nhân

$- 2$ với

$3$ .

$\frac{5 x - 2 y - 28}{35} = 0, \frac{2 x - 2 z - 5 y + 20}{10} = 0, \frac{10 y - 10 z - 3 x - 6}{30} = 0$

Bước 4

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{35} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$35$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$35$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 35 (\frac{1}{35}) & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 & 35 \cdot 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.1.2

Rút gọn

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{10} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{10} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.2.2

Rút gọn

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.3

Swap

$R_{3}$ with

$R_{2}$ to put a nonzero entry at

$2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{30} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$30$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$30$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 30 \cdot 0 & 30 (\frac{1}{30}) & 30 \cdot 0 & 30 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 5.4.2

Rút gọn

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Bước 6

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = 0$

$y = 0$

Bước 7

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(0, 0, z)$

Bước 8

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$