Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + y + z + w = 15$ , $x - 2 y + 4 z - w = 12$

Bước 1

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ - 1 & 1 & - 2 & 4 & 12 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & 4 + 1 \cdot 1 & 12 + 1 \cdot 15 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 2 & - 1 & 5 & 27 \end{array}]$

Bước 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Bước 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & 1 - \frac{5}{2} & 15 - \frac{27}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$w + \frac{3 y}{2} - \frac{3 z}{2} = \frac{3}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Bước 4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $w$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Trừ $\frac{3 y}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$w - \frac{3 z}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Bước 4.2

Cộng $\frac{3 z}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Bước 5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $\frac{y}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2} + \frac{y}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

Bước 5.2

Trừ $\frac{5 z}{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

Bước 6

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(\frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}, \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}, y, z)$

Bước 7

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2} \\ \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2} \\ y \\ z \end{array}]$